Question

20．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为$\sqrt{2}$，∠AOB=∠OBA=45°，则k的值为1+$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 过A作AM⊥y轴于M，过B作BD选择x轴于D，直线BD与AM交于点N，则OD=MN，DN=OM，∠AMO=∠BNA=90°，由等腰三角形的判定与性质得出OA=BA，∠OAB=90°，证出∠AOM=∠BAN，由AAS证明△AOM≌△BAN，得出AM=BN=$\sqrt{2}$，OM=AN=$\frac{k}{\sqrt{2}}$，求出B（$\frac{k}{\sqrt{2}}$+$\sqrt{2}$，$\frac{k}{\sqrt{2}}$-$\sqrt{2}$），得出方程（$\frac{k}{\sqrt{2}}$+$\sqrt{2}$）•（$\frac{k}{\sqrt{2}}$-$\sqrt{2}$）=k，解方程即可．

解答 解：过A作AM⊥y轴于M，过B作BD选择x轴于D，直线BD与AM交于点N，如图所示：
则OD=MN，DN=OM，∠AMO=∠BNA=90°，
∴∠AOM+∠OAM=90°，
∵∠AOB=∠OBA=45°，
∴OA=BA，∠OAB=90°，
∴∠OAM+∠BAN=90°，
∴∠AOM=∠BAN，
在△AOM和△BAN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOM=∠BAN}&{\;}\\{∠AMO=∠BNA}&{\;}\\{OA=BA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOM≌△BAN（AAS），
∴AM=BN=$\sqrt{2}$，OM=AN=$\frac{k}{\sqrt{2}}$，
∴OD=$\frac{k}{\sqrt{2}}$+$\sqrt{2}$，OD=BD=$\frac{k}{\sqrt{2}}$-$\sqrt{2}$，
∴B（$\frac{k}{\sqrt{2}}$+$\sqrt{2}$，$\frac{k}{\sqrt{2}}$-$\sqrt{2}$），
∴双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）同时经过点A和B，
∴（$\frac{k}{\sqrt{2}}$+$\sqrt{2}$）•（$\frac{k}{\sqrt{2}}$-$\sqrt{2}$）=k，
整理得：k²-2k-4=0，
解得：k=1±$\sqrt{5}$（负值舍去），
∴k=1+$\sqrt{5}$；
故答案为：1+$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．