练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    18．对于半径为r的⊙P及一个正方形给出如下定义：若⊙P上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称⊙P是该正方形的“等距圆”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧．
    （1）当r=4$\sqrt{2}$时，
    ①在P1（0，-3），P2（4，6），P3（4$\sqrt{2}$，2）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是P2，P3；
    ②若点P在直线y=-x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，则点P的坐标为（4，-2）或P（-4，6）；
    （2）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方．
    ①若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P 在y轴上截得的弦长；
    ②将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，则r的取值范围是0＜r＜$\sqrt{2}$或r＞2$\sqrt{17}$+2$\sqrt{2}$．

    分析 （1）①连接AC和BD，交于点M，设⊙P的圆心坐标是（x，y），列出圆心到M的关系式，把P1（0，-3），P2（4，6），P3（4$\sqrt{2}$，2）代入，看是否成立来逆定，②把y=-x+2代入x2+（y-2）2=32，求出x和y的值，再写出坐标．
    （2）①先求出△LIE为等腰直角三角形，得到L（0，5），进而得出△LOM为等腰直角三角形，设P（p，-p+5）据关系列出方程求了圆心，的坐标，最后得出弦长．②连接DH，作DT⊥HF，以D为圆心，DE为半径作圆，交DT于点E1，交HD于E2，当0＜r＜DT-DE1时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．当r＞HE2时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．据此求解．

    解答 解：（1）①连接AC和BD，交于点M，

    ∵四边形ABCD是正方形，
    ∴M到正方形ABCD四条边距离都相等
    ∴⊙P一定通过点M，
    ∵A（2，4）
    ∴M（0，2）
    设⊙P的圆心坐标是（x，y），
    ∴r=4$\sqrt{2}$时，
    ∴x2+（y-2）2=（4$\sqrt{2}$）2，
    即，x2+（y-2）2=32，
    把P1（0，-3），P2（4，6），P3（4$\sqrt{2}$，2）代入，只有P2，P3成立，
    ∴可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是P2，P3，
    故答案为：P2，P3；
    ②∵点P在直线y=-x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，
    ∴把y=-x+2代入x2+（y-2）2=32，得x2+x2=32，
    解得x=±4，
    ∴y=-2或6，
    ∴P（4，-2）或P（-4，6）．
    故答案为：（4，-2）或P（-4，6）．
    （2）如下图：

    ①∵⊙P同时为正方形ABCD与正方形EFGH的“等距圆”，
    ∴⊙P同时过正方形ABCD的对称中心E和正方形EFGH的对称中心I．
    ∴点P在线段EI的中垂线上．
    ∵A（2，4），正方形ABCD的边CD在x轴上；F（6，2），正方形EFGH的边HE在y轴上，
    ∴E（0，2），I（3，5）
    ∴∠IEH=45°，
    设线段EI的中垂线与y轴交于点L，与x轴交于点M，
    ∴△LIE为等腰直角三角形，LI⊥y轴，
    ∴L（0，5），
    ∴△LOM为等腰直角三角形，LO=OM
    ∴M（5，0），
    ∴P在直线y=-x+5上，
    ∴设P（p，-p+5）
    过P作PQ⊥直线BC于Q，连结PE，
    ∵⊙P与BC所在直线相切，
    ∴PE=PQ，
    ∴p2+（-p+5-2）2=（p+2）2，
    解得：P1=5+2$\sqrt{5}$，P2=5-2$\sqrt{5}$，
    ∴P1（5+2$\sqrt{5}$，-2$\sqrt{5}$），P2（5-2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$），
    ∵⊙P过点E，且E点在y轴上，
    ∴⊙P在y轴上截得的弦长为2|-2$\sqrt{5}$-2|=4$\sqrt{5}$或2|2$\sqrt{5}$-2|=4$\sqrt{5}$-4．
    ②如图2，连接DH，作DT⊥HF，以D为圆心，DE为半径作圆，交DT于点E1，交HD于E2，

    当0＜r＜DT-DE1时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．
    ∵HF所在的直线为：y=-x+8，
    DT所在的直线为：y=x-2，
    ∴T（5，3），
    ∵D（2，0），
    ∴DT=$\sqrt{{3}^{2}+（5-2）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
    ∵DE=DE1
    ∴DT-DE1=DT-DE=3$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
    ∴当0＜r＜$\sqrt{2}$时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．
    当r＞HE2时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．
    ∵HE2=HD+DE2，DE2=DE，
    ∴HE2=HD+DE=$\sqrt{H{O}^{2}+O{D}^{2}}$+2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{17}$+2$\sqrt{2}$，
    ∴当r＞2$\sqrt{17}$+2$\sqrt{2}$时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．
    综上可知当0＜r＜$\sqrt{2}$或r＞2$\sqrt{17}$+2$\sqrt{2}$时线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，
    故答案为：0＜r＜$\sqrt{2}$或r＞2$\sqrt{17}$+2$\sqrt{2}$．

    点评 本题考查圆的综合题，解题的关键是明确题意，根据题目给出的条件，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．此外对本题中的“等距圆”的定义正确理解也是解题的关键．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    8．以7为底的等腰三角形的两腰是方程x2-2（k+2）x+2k2+7=0的两根，则k=3．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    9．解方程：
    （1）（x-3）2=x-3
    （2）x2-2x-1=0．
    （3）x2-5x+6=0
    （4）（2y-5）2=4（3y-1）2．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    6．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=BD，∠ADB=100°，则∠DAC的度数为60°．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    13．如图，AC=AD，请你添加一个条件，根据“边角边”判定△ADB≌△ACB，你所添加的条件是∠CAB=∠DAB．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    3．点A（2，3）到x轴的距离为（　　）
    A．2B．3C．5D．$\sqrt{13}$

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    10．解分式方程：
    （1）$\frac{1}{x-2}$=$\frac{4}{{x}^{2}-4}$；                              
    （2）$\frac{2}{x-2}$+3=$\frac{1-x}{2-x}$．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    7．（1）如图①，△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．图中有5个等腰三角形．猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．
    （2）如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中有2个等腰三角形．
    它们是△BEO，△CFO．EF与BE、CF间的关系是EF=BE+CF．
    （3）如图③，若△ABC中∠ABC的平分线与三角形外角平分线交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中有2个等腰三角形．EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    8．计算：$\sqrt{0.16}$×$\sqrt{1\frac{9}{16}}$+$\sqrt{1{7}^{2}-{8}^{2}}$÷$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案