Question

【题目】过双曲线x2﹣ =1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2=4和圆C2：（x﹣4）2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（ ）
A.10
B.13
C.16
D.19

Answer 1

【答案】B
【解析】解：圆C1：（x+4）2+y2=4的圆心为（﹣4，0），半径为r1=2； 圆C2：（x﹣4）2+y2=1的圆心为（4，0），半径为r2=1，
设双曲线x2﹣ =1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），
连接PF1 ， PF2 ， F1M，F2N，可得
|PM|2﹣|PN|2=（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）
=（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）
=|PF1|2﹣|PF2|2﹣3=（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3
=2a（|PF1|+|PF2|﹣3=2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥22c﹣3=28﹣3=13．
当且仅当P为右顶点时，取得等号，
即最小值13．
故选B．

求得两圆的圆心和半径，设双曲线x2﹣ =1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1 ， PF2 ， F1M，F2N，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．