Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，且对角线BD⊥DC，
试问：
①△ABD与△DCB相似吗？请说明理由；
②若AD=2，BC=8，请求出BD的长．

Answer 1

解：①∵BD⊥DC（已知），
∴∠BDC=90°（垂直性质）．
而∠BAD=90°（已知），
∴∠BDC=∠BAD（等量代换）．
又∵AD∥BC（已知），
∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）．
∴△ABD∽△DCB（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）．

②∵△ABD∽△DCB，
∴=．
而AD=2，BC=8，
∴BD=4．
分析：（1）根据已知及相似三角形的判定方法进行分析即可．
（2）根据相似三角形的性质进行分析，从而不难求得BD的长．
点评：此题考查了相似三角形的判定和性质；判定为①有两个对应角相等的三角形相似，②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似；性质为相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．