Question

9．如图1，直线y=x+1与抛物线y=2x²相交于A、B两点，与y轴交于点M，M、N关于x轴对称，连接AN、BN．

（1）①求A、B的坐标；②求证：∠ANM=∠BNM；
（2）如图2，将题中直线y=x+1变为y=kx+b（b＞0），抛物线y=2x²变为y=ax²（a＞0），其他条件不变，那么∠ANM=∠BNM是否仍然成立？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①联立直线和抛物线解析式可求得A、B两点的坐标；②过A作AC⊥y轴于C，过B作BD⊥y轴于D，可分别求得∠ANM和∠BNM的正切值，可证得结论；
（2）当k=0时，由对称性可得出结论；当k≠0时，过A作AE⊥y轴于E，过B作BF⊥y轴于F，设$A（{x_1}，a{x_1}^2）$、B$（{x_2}，a{x_2}^2）$，联立直线和抛物线解析式，消去y，利用根与系数的关系，可求得$\frac{NF}{BF}=\frac{NE}{AE}$，则可证明Rt△AEN∽Rt△BFN，可得出结论．

解答 解：
（1）①由已知得2x²=x+1，解得$x=-\frac{1}{2}$或x=1，
当$x=-\frac{1}{2}$时，$y=\frac{1}{2}$，当x=1时，y=2，
∴A、B两点的坐标分别为（$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），（ 1，2）；
②如图1，过A作AC⊥y轴于C，过B作BD⊥y轴于D，

由①及已知有A（$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），B（ 1，2），且OM=ON=1，
∴$tan∠ANM=\frac{AC}{CN}=\frac{{\frac{1}{2}}}{{1+\frac{1}{2}}}=\frac{1}{3}$，$tan∠BNM=\frac{BD}{DN}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$，
∴tan∠ANM=tan∠BNM，
∴∠ANM=∠BNM；

（2）∠ANM=∠BNM成立，
①当k=0，△ABN是关于y轴的轴对称图形，
∴∠ANM=∠BNM；
②当k≠0，根据题意得：OM=ON=b，设$A（{x_1}，a{x_1}^2）$、B$（{x_2}，a{x_2}^2）$．
如图2，过A作AE⊥y轴于E，过B作BF⊥y轴于F，

由题意可知：ax²=kx+b，即ax²-kx-b=0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{k}{a}，{x_1}{x_2}=-\frac{b}{a}$，
∵$\frac{NF}{BF}-\frac{NE}{AE}=\frac{{b+a{x_2}^2}}{x_2}-\frac{{b+a{x_1}^2}}{{-{x_1}}}$=$\frac{{b{x_1}+a{x_1}{x_2}^2+b{x_2}+a{x_2}{x_1}^2}}{{{x_1}{x_2}}}$=$\frac{{（{x_1}+{x_2}）（a{x_1}{x_2}+b）}}{{{x_1}{x_2}}}$=$\frac{{\frac{k}{a}[a•（-\frac{b}{a}）+b]}}{{（-\frac{b}{a}）}}=0$，
∴$\frac{NF}{BF}=\frac{NE}{AE}$，
∴Rt△AEN∽Rt△BFN，
∴∠ANM=∠BNM．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、三角函数的定义、根与系数的关系、相似三角形的判定和性质等知识．在（1）②中求得两角的正切值是解题的关键，在（2）中利用根与系数的关系，整理求得$\frac{NF}{BF}=\frac{NE}{AE}$，是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．