Question

【题目】已知：如图①，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，且BD=BE，连接DE．

（1）求证：DE∥AC；

（2）将图①中的△BDE绕点B顺时针旋转，使得点A、D、E在同一条直线上，如图②，求∠AEC的度数;

（3）在（2）的条件下，如图③，连接CD，过点D作DM⊥BE于点M，在线段BM上取点N，使得∠DNE+∠DCE=180°．请探索三条线段EN，MN，EC之间的关系，并证明你的结论.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)60°;(3)见解析.

【解析】

（1）由△ABC是等边三角形得∠B=60°，再由BD=BE，得△BDE是等边三角形，所以∠BED=∠C=60°，可得DE∥AC；

（2）由旋转，易证△BAD≌△BCE，所以∠BEC=∠BDA=180°-∠BDE=120°，所以∠AEC=∠BEC-∠BED=60°.

（3）在四边形CDNE中， 由（2）中∠NEC=120°易得∠NDC=60°，然后利用角边角证明△BDN≌△EDC，得出BN=EC，然后在BE边上利用线段关系可推出关系式.

证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°，

又∵BD=BE，∴△BDE为等边三角形，∴∠BEC=60°，

∴∠BEC=∠C，∴DE∥AC.

（2）∵∠ABD+∠DBC=60°，∠CBE+∠DBC=60°

∴∠ABD=∠CBE

在△ABD和△CBE中，

∴△ABD≌△CBE（SAS）

∴∠BEC=∠BDA，

又∵A、D、E在一条直线，

∴∠BDA+∠BDE=180°，

又∵∠BDE=60°，∴∠BDA=∠BEC=120°，

∴∠AEC=∠BEC-∠BED=120°-60°=60°

（3）在四边形CDNE中，∵∠DNE+∠DCE=180°

∴∠NDC+∠NEC=180°，

由（2）可知∠NEC=120°，∴∠NDC=60°

∴∠CDE+∠NDE=60°，

∵∠BDN+∠NDE=60°，

∴∠BDN=∠CDE

在△BDN和△EDC中，

∴△BDN≌△EDC（ASA）

∴BN=EC

在等边△BDE中，DM⊥BE，

∴BM=ME

∴EN=MN+ME=MN+BM=MN+BN+MN=2MN+EC

故EN，MN，EC之间的关系的关系是EN=2MN+EC.