如图.在矩形ABCD中.AB=$\sqrt{3}$.BC=3.在BC边上有2个点E.F.以EF为边长作等边三角形PEF.使点P恰好落在边AD上.PF交AC于点H．(1)求△PEF的边长,(2)如图1.当CF＜1的时候.试猜想PH与BE的数量关系.并证明你的结论,(3)如图2.当CF＞2的时候.其他条件不变(2)中的结论还成立吗?如果成立.请说明理由,如果不成� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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1．如图，在矩形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$，BC=3，在BC边上有2个点E、F（E在F的左边），以EF为边长作等边三角形PEF，使点P恰好落在边AD上，PF交AC于点H．
（1）求△PEF的边长；
（2）如图1，当CF＜1的时候，试猜想PH与BE的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图2，当CF＞2的时候，其他条件不变（2）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请直接写出结论．

分析（1）过P作PQ⊥BC，垂足为Q，由四边形ABCD为矩形，得到∠B为直角，且AD∥BC，得到PQ=AB，又△PEF为等边三角形，根据“三线合一”得到∠FPQ为30°，在Rt△PQF中，设出QF为x，则PF=2x，由PQ的长，根据勾股定理列出关于x的方程，求出x的值，即可得到PF的长，即为等边三角形的边长；
（2）PH-BE=1，过E作ER垂直于AD，如图所示，首先证明△APH为等腰三角形，再根据矩形的对边平行得到一对内错角相等，可得∠APE=60°，在Rt△PER中，∠REP=30°，根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，由PE求出PR，由PA=PH，则PH-BE=PA-BE=PA-AR=PR，即可得到两线段的关系．
（3）当若△PEF的边EF在射线CB上移动时（2）中的结论不成立，由（2）的解题思路可知当1＜CF＜2时，PH=1-BE，当2＜CF＜3时，PH=BE-1．

解答解：（1）过P作PQ⊥BC于Q（如图1），
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，即AB⊥BC，
又∵AD∥BC，
∴PQ=AB=$\sqrt{3}$，
∵△PEF是等边三角形，
∴∠PFQ=60°，
在Rt△PQF中，∠FPQ=30°，
设PF=2x，QF=x，PQ=$\sqrt{3}$，根据勾股定理得：（2x）²=x²+（$\sqrt{3}$）²，
解得：x=1，故PF=2，
∴△PEF的边长为2；

（2）PH-BE=1，理由如下：
∵在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{3}$，BC=3，
∴由勾股定理得AC=2$\sqrt{3}$，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠CAD=30°
∵AD∥BC，∠PFE=60°，
∴∠FPD=60°，
∴∠PHA=30°=∠CAD，
∴PA=PH，
∴△APH是等腰三角形，
作ER⊥AD于R（如图2）
Rt△PER中，∠RPE=60°，
∴PR=$\frac{1}{2}$PE=1，
∴PH-BE=PA-BE=PR=1．
（3）结论不成立，
当1＜CF＜2时，PH=1-BE，
当2＜CF＜3时，PH=BE-1．

点评此题综合考查了矩形的性质，等腰三角形的判别与性质、等边三角形的性质及直角三角形的性质．学生作第三问时，应借助第二问的结论，结合图形，多次利用数学中等量代换的方法解决问题，这就要求学生在作几何题时注意合理运用各小题之间的联系．

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