Question

如图，在△ABC的外接圆O中，D是

BC

的中点，AD交BC于点E，连接BD．
（1）列出图中所有相似三角形；
（2）连接DC，若在

BAC

上任取一点K（点A，B，C除外），连接CK，DK，DK交BC于点F，DC²=DF•DK是否成立？若成立，给出证明；若不成立，举例说明．

Answer 1

（1）△BDE∽△CAE，△DBE∽△DAB，△ABD∽△AEC．

（2）DC²=DF•DK成立．
证明：∵D是

BC

的中点，
∴

BD

=

DC

，
∴∠DBC=∠DCB（等弧的圆周角相等），
又∵∠DBC=∠DKC，
∴∠DCB=∠DKC，
又∵∠KDC=∠CDF，
∴△KDC∽△CDF，
∴

KD

DC

=

DC

DF

，
∴DC²=DF•DK．