Question

【题目】边长为4的正方形ABCD中，点E是BC边上的一个动点，连接DE，交AC于点N，过点D作DF⊥DE，交BA的延长线于点F，连接EF，交AC于点M．

（1）判定△DFE的形状，并说明理由；

（2）设CE=x，△AMF的面积为y，求y与x之间的函数关系式；并求出当x为何值时y有最大值？最大值是多少？

（3）随着点E在BC边上运动，NA·MC的值是否会发生变化？若不变，请求出NA·MC的值；若变化，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）等腰直角三角形，见解析；（2）y =﹣x2+ x，当x=2，y有最大值1；（3）不变，16

【解析】

（1）先判断出∠FDA=∠CDE，证得△ADF≌△CDE，即可得出结论；

（2）利用平行线分线段成比例定理得出比例式表示出AF边上的高，即可得出结论；

（3）先判断出△FAM≌△EIM，得出ME=FM，再判断出△AND∽△CDM，即可得出结论．

（1）在正方形ABCD中，AD=CD，∠ADC=∠DCB=∠DAB =90°，
∵∠FDE=∠ADC=90°，
∴∠FDA=∠CDE，
在△ADF和△CDE中，

，
∴△ADF≌△CDE，

∴DE =DF，

∴△DFE为等腰直角三角形；

(2)过M作MG⊥AB于G，

设MG=h，

又∵∠GAM =45°，

∴AG =MG=h，由(1)知FA=CE =，

∵CB⊥AB，

∴MG//BC，

∴=，即=，

∴h=，

∴y =·= （）；

，

∵，

∴当 ，有最大值1；

（3）不变，如图3，过点E作EI∥AB交AC于I，连接DM，

∴∠EIC=∠ICE=45°，
∴EI=EC=AF，
∵EI∥AB，
∴∠FAM=∠MIE，∠MFA=∠IEM，
∴△FAM≌△EIM，
∴ME=FM，
由（1）可得，△FDE是等腰直角三角形，
∴DM⊥EF，
∴∠MDE=45°，∠MDC=45°+∠CDN=∠DNA，
∵∠DAN=∠DCM=45°，
∴△AND∽△CDM，

∴，

∴ANCM=ADCD=16．