Question

如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA₁B₁，第二次将△OA₁B₁变换成△OA₂B₂，第三次将△OA₂B₂变换成△OA₃B₃，已知A（1，3），A₁（2，3），A₂（4，3），A₃（8，3）；B₁（4，0），B₂（8，0），B₃（16，0）．
（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按次变化规律再将△OA₃B₃变换成△OA₄B₄，则A₄的坐标是______，B₄的坐标是______．
（2）若按第（1）题找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到△OA_nB_n，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测A_n的坐标是______．B_n的坐标是______．

Answer 1

（1）因为A（1，3），A₁（2，3），A₂（4，3），A₃（8，3）…纵坐标不变为3，
同时横坐标都和2有关，为2ⁿ，那么A₄（16，3）；
因为B（2，0），B₁（4，0），B₂（8，0），B₃（16，0）…纵坐标不变，为0，
同时横坐标都和2有关为2ⁿ⁺¹，那么B的坐标为B₄（32，0）；
（2）由上题第一问规律可知A_n的纵坐标总为3，横坐标为2ⁿ，B_n的纵坐标总为0，横坐标为2^n+1，
∴A的坐标是（2ⁿ，3），B的坐标是（2ⁿ⁺¹，0）．
故答案为（1）（16，3），（32，0），（2）（2ⁿ，3），（2ⁿ⁺¹，0）．