Question

（2013•株洲）已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C．
（1）求∠BAC的度数；
（2）求证：AD=CD．

Answer 1

分析：（1）由AB是⊙O的直径，易证得∠ADB=90°，又由∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，易证得△ABD≌△CBD，即可得△ABC是等腰直角三角形，即可求得∠BAC的度数；
（2）由AB=CB，BD⊥AC，利用三线合一的知识，即可证得AD=CD．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=90°，BD⊥AC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，

∠ADB=∠CDB BD=BD ∠ABD=∠CBD

，
∴△ABD≌△CBD（ASA），
∴AB=CB，
∵直线BC与⊙O相切于点B，
∴∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠C=45°；

（2）证明：∵AB=CB，BD⊥AC，
∴AD=CD．

点评：此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．