Question

8．如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A、B（2，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，8）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若将该抛物线向下平移m个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；
（3）已知点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点B和点C的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程组，从而可求得b、c的值，然后可得到抛物线的解析式；
（2）平移后抛物线的解析式为y=-（x+1）²+9-m，然后求得直线AC的解析式y=2x+8，当x=-1时，y=6，最后由抛物线的顶点在△ABC的内部可得到0＜9-m＜6，从而可求得m的取值范围；
（3）设点Q的坐标为（a，0），点P（x，y）．分为AC为对角线、CP为对角线、AQ为对角线三种情况，依据平行四边形对角相互平分的性质和中点坐标公式可求得x、y的值（用a的式子表示），然后将点P的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，从而可得到点Q的坐标．

解答 解：（1）把点B和点C的坐标代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{-4+2b+c=0}\\{c=8}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=8}\end{array}\right.$，
∴y=-x²-2x+8．

（2）y=-x²-2x+8=-（x+1）²+9，
∴平移后抛物线的解析式为y=-（x+1）²+9-m．
∵抛物线的对称轴为x=-1，点B（2，0），
∴A（-4，0）．
设直线AC的解析式为y=kx+8，将点A的坐标代入得：-4k+8=0，解得k=2，
∴直线AC解析式为y=2x+8．
当x=-1时，y=6．
∵抛物线的顶点落在△ABC的内部，
∴0＜9-m＜6．
∴3＜m＜9．

（3）设点Q的坐标为（a，0），点P（x，y）．
①当AC为对角线时．
∵四边形APCQ为平行四边形，
∴AC与PQ互相平分．
依据中点坐标公式可知：$\frac{-4+0}{2}$=$\frac{x+a}{2}$，$\frac{0+8}{2}$=$\frac{y+0}{2}$．
∴x=-4-a，y=8．
∵点P在抛物线上，
∴-（a+4）²-2（-4-a）=0，解得：a=-2或a=-4（舍去）
∴点P的坐标为（-2，0）．
②当CP为对角线时，
∵四边形APCQ为平行四边形，
∴CP与AQ互相平分．
依据中点坐标公式可知：$\frac{a+0}{2}$=$\frac{-4+x}{2}$，$\frac{y+0}{2}$=$\frac{0+8}{2}$，
∴x=a+4，y=8．
∵点P在抛物线上，
∴-（a+4）²-2（a+4）=0，解得：a=-6或a=-4（舍去）
∴点P的坐标为（-6，0）．
③AQ为对角线时．
∵四边形APCQ为平行四边形，
∴AQ与CP互相平分．
依据中点坐标公式可知：$\frac{-4+a}{2}$=$\frac{x+0}{2}$，$\frac{0+0}{2}$=$\frac{y+8}{2}$，
∴x=-4+a，y=-8．
∵点P在抛物线上，
∴-（a-4）²-2（a-4）+16=0，整理得：a²-6a-8=0，解得：a=3+$\sqrt{17}$或a=3-$\sqrt{17}$．
∴点Q的坐标为（3+$\sqrt{17}$，0）或（3-$\sqrt{17}$，0）．
综上所述满足条件的点Q为（-2，0）或（-6，0）或（3+$\sqrt{17}$，0）或（3-$\sqrt{17}$，0）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的平移规律、平行四边形的性质、线段的中点坐标公式，利用线段中点坐标公式求得点P的坐标是解答本题的关键．