Question

12．如图，二次函数y=-x²+2x+3的图象与x轴交于点A和点B，顶点为C，则sin∠ABC=（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• C． 2
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 过C点作对称轴交x轴于D，根据题意求得AC=BC，根据解析式求得A、B、C的坐标，进而求得CD、BD，然后根据勾股定理求得BC，即可求得sin∠ABC的值．

解答 解：令y=0，则-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点C（1，4），
∵二次函数y=-x²+2x+3的图象与x轴交于点A和点B，顶点为C，
∴AC=BC，
过C点作对称轴交x轴于D，
∴CD⊥x轴，CD=4，BD=2，
∴BC=$\sqrt{C{D}^{2}+B{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴sin∠ABC=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故选A．

点评 本题考查了抛物线和x轴的交点以及顶点，求得交点坐标和顶点坐标是本题的关键．