Question

8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，D为BC上一点，过点D作DE⊥AB于E．
（1）连接AD，取AD中点F，连接CF，CE，FE，判断△CEF的形状并说明理由
（2）若BD=$\sqrt{2}$CD，将△BED绕着点D逆时针旋转n°（0＜n＜180），当点B落在Rt△ABC的边上时，求出n的值．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半证得FC=FE即可，再证明∠CFE=60°，从而进行判断；
（2）根据∠B=60°，∠DEB=90°，可知BD=$\sqrt{2}$DE，又BD=$\sqrt{2}$CD，则DC=DE，将△BED绕着点D逆时针旋转n°（0＜n＜180），当点B落在Rt△ABC的边上时，∠CDE等于旋转角，∠CDE=180°-∠BDE=180°-30°=150°．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，F是AD中点，
∴FC=$\frac{1}{2}$AD，
∵DE⊥AB，F是AD中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$AD，
∴FC=FE，
∴△CEF是等腰三角形；
又EF=AF，CF=AF，故∠CFE=2∠CAB=60°
从而可知：△CEF是等边三角形．
（2）n=60°或135°
理由：①将△BED绕着点D逆时针旋转n°（0＜n＜180），当点B落在Rt△ABC的边AC上时，此时记为B'点（图请自画）
△B'CD为直角三角形，
又∵BD=$\sqrt{2}$CD，
故∠B'DC=45°；从而旋转角∠BDB'=180°-∠B'DC=180°-45°=135°
②当B'在边AB上上时，有DB=DB'，又∠B=60°，故可知△DBB'为等边三角形，所以∠BDB'=60°；即n=60°

点评 本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识的综合运用，熟练的运用旋转的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质是解决问题的关键．