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如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O,与斜边AC交于D,E是BC边上的中点,连结DE.

DE与半圆O相切吗?若相切,请给出证明;若不相切,请说明理由;

若AD、AB的长是方程x2-10x+24=0的两个根,求直角边BC的长.

答案:
解析:

  解:(1)DE与半圆O相切.

  证明:连结OD、BD∵AB是半圆O的直径

  ∴∠BDA=∠BDC=90°∵在Rt△BDC中,E是BC边上的中点

  ∴DE=BE∴∠EBD=∠BDE

  ∵OB=OD∴∠OBD=∠ODB

  又∵∠ABC=∠OBD+∠EBD=90°

  ∴∠ODB+∠EBD=90°∴DE与半圆O相切.

  (2)解:∵在Rt△ABC中,BD⊥AC

  ∴Rt△ABD∽Rt△ABC

  ∴即AB2=AD·AC∴AC=

  ∵AD、AB的长是方程x2-10x+24=0的两个根

  ∴解方程x2-10x+24=0得:x1=4x2=6

  ∵AD<AB∴AD=4AB=6∴AC=9

  在Rt△ABC中,AB=6AC=9

  ∴


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