如图.抛物线y=-x2-2x+3 的图象与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C.点D为抛物线的顶点．(1)求A.B.C三点的坐标．(2)点M为线段AB上一点.过点M作x轴的垂线.与直线AC交于点E.与抛物线交于点P.过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q.过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边.当矩形PMNQ的周长最大时.求△AEM的面积．的条件下.当矩形PMNQ的周长最大时.连结DQ� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

9．

如图，抛物线y=-x²-2x+3 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求A，B，C三点的坐标．
（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A，B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积．
（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连结DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=2$\sqrt{2}$DQ，求点F的坐标．

分析（1）通过解析式即可得出C点坐标，令y=0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐标．
（2）设M点横坐标为m，则PM=-m²-2m+3，MN=（-m-1）×2=-2m-2，矩形PMNQ的周长=-2m²-8m+2，将-2m²-8m+2配方，根据二次函数的性质，即可得出m的值，然后求得直线AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的边长，从而求得三角形的面积，
（3）先确定出点D坐标，进而得出FG，再由FG=4建立方程求解即可．

解答解：（1）由抛物线y=-x²-2x+3可知点C（0，3），
令y=0，则0=-x²-2x+3，
解得x=-3或x=1，
∴点A（-3，0），B（1，0）．
（2）由抛物线y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4可知，对称轴为直线x=-1，
设点M的横坐标为m，则PM=-m²-2m+3，MN=（-m-1）×2=-2m-2，
∴矩形PMNQ的周长=2（PM+MN）=2（-m²-2m+3-2m-2）=-2m²-8m+2=-2（m+2）²+10，
∴当m=-2时矩形的周长最大．
∵点A（-3，0），C（0，3），
∴直线AC的函数表达式为y=x+3，
当x=-2时，y=-2+3=1，则点E（-2，1），
∴EM=1，AM=1，
∴S=$\frac{1}{2}$AM•EM=$\frac{1}{2}$．
（3）∵当矩形PMNQ的周长最大时，点M的横坐标为-2，抛物线的对称轴为x=-1，
∴N（0，0），Q（0，3），
∴点N应与原点重合，点Q与点C重合，
∴DQ=DC，
把x=-1代入y=-x²-2x+3，得y=4，
∴点D（-1，4）．
∵C（0，3），
∴DC=$\sqrt{2}$
∴DQ=DC=$\sqrt{2}$
∵FG=2$\sqrt{2}$DQ=2$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=4，
设点F（n，-n²-2n+3），则点G（n，n+3），
∵点G在点F的上方，
∴（n+3）-（-n²-2n+3）=4，解得n=-4或n=1．
∴点F（-4，-5）或（1，0）．

点评此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线顶点坐标公式，函数的极值，三角形的面积公式，解本题的关键是矩形PMNQ的周长=-2（m+2）²+10，是一道中等难度的中考常考题．

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