Question

【题目】某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将三角板中含45°角的顶点放在A上，斜边从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．

（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；
（2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2 ． 同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：
小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2）；
小亮的想法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）；
请你从中任选一种方法进行证明．
（3）小敏继续旋转三角板，请你继续研究：当135°＜α＜180°时（如图4），等量BD2+CE2=DE2是否仍然成立？请作出判断，不需要证明．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1，

∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°．
∵∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°．
∵∠BAD=∠DAM，
∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°，
∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC，
∴∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC
（2）解：选择小颖的方法．
证明：如图2，连接EF．

由折叠可知，∠BAD=∠FAD，AB=AF，BD=DF，
∵∠BAD=∠FAD，
∴由（1）可知，∠CAE=∠FAE．
在△AEF和△AEC中，

∴△AEF≌△AEC（SAS），
∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．
∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．
在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2 ，
∴BD2+CE2=DE2 ．
选择小亮的方法，
证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，

∴△ADB≌△AGC，
∴∠B=∠ACG=45°，AD=AG，BD=CG，
∵∠BAC=∠DAG=90°，∠DAE=45°，
∴∠EAG=45°，
在△DAE和△GAE中，
，
∴△DAE≌△GAE（SAS），
∴DE=EG，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECG=∠ACB+∠ACG=45°+45°=90°，
∴△ECG是直角三角形，
∴CG2+CE2=EG2 ，
即BD2+CE2=DE2
（3）解：当135°＜α＜180°时，等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立．证明如下：
如图4，

按小颖的方法作图，设AB与EF相交于点G．
∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，
∴AF=AB，∠AFD=∠ABD=135°，∠BAD=∠FAD．
又∵AC=AB，∴AF=AC．
又∵∠CAE=90°﹣∠BAE=90°﹣（45°﹣∠BAD）=45°+∠BAD=45°+∠FAD=∠FAE．
∴∠CAE=∠FAE．
在△AEF和△AEC中，
∵ ，
∴△AEF≌△AEC（SAS），
∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．
∴∠DFE=∠AFD﹣∠AFE=∠135°﹣∠C=135°﹣45°=90°．
∴∠DFE=90°．
在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2 ，
∴BD2+CE2=DE2
【解析】（1）利用等式的基本性质和角平分线定义即可证出；（2）利用折叠或旋转，可将BD、CE、DE组合到一个三角形中，利用全等证明得到对应边相等，对应角相等，证出直角三角形，利用勾股定理得到结论;（3）借鉴（2）的思路方法，利用折叠的性质，可得到全等三角形，再利用其性质得到直角三角形，进而得到结论.
【考点精析】利用全等三角形的性质和轴对称的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等；关于某条直线对称的两个图形是全等形；如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．