Question

如图所示，在等腰Rt△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BC交AD于F．
（1）求证：BD=

1

2

AF；
（2）若E为AB中点，求证：DE=

1

2

AB．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：（1）延长BD交AC延长线于点M，先证△BAD≌△MAD，得出 BD=MD=

1

2

BM，再证明△BCM≌△ACF，得出AF=MB，BD=

1

2

AF；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由∠ADB=90°，E是AB中点，得出DE=

1

2

AB．

解答：证明：（1）延长BD交AC延长线于点M，如图所示：
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=∠ADM，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠MAD，
在△BAD或△MAD中，

∠BAD=∠MAD   AD=AD   ∠ADB=∠ADM

 
∴△BAD≌△MAD（ASA），
∴BD=MD=

1

2

BM，
∵∠M+∠MBC=90°，
∠M+∠DAM=90°，
∴∠MBC=∠DAM，
在△BCM和△ACF中，

∠BMC=∠DAM   BC=AC   ∠BCM=∠ACF=90°

，
∴△BCM≌△ACF（ASA），
∴AF=MB，
∴BD=

1

2

AF；
（2）∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°
又∵E是AB中点，
∴DE=

1

2

AB （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线的性质；培养学生综合运用定理进行推理论证的能力，作辅助线是解题的关键．