Question

1．如图，在平面直角坐标系中，有一组有规律的点：A₁（0，1）、A₂（1，0）、A₃（2，1）、A₄（3，0）、A₅（4，1），…依此规律可知，当n为奇数时，有点A_n（n-1，1）；当n为偶数时，有点A_n（n-1，0）．抛物线C₁经过A₁、A₂、A₃三点，抛物线C₂经过A₂、A₃、A₄三点，抛物线C₃经过抛物线A₃、A₄、A₅三点，…，抛物线C_n经过A_n、A_n+1、A_n+2．
（1）找规律：C₁的对称轴为x=1，C₂的对称轴为x=2；并直接写出抛物线C₃、C₄的解析式．
（2）若点E（e，f₁）、F（e，f₂）分别在抛物线C₂₇、C₂₈上，当e=30时，求线段EF的长．
（3）若直线x=m分别交x轴、抛物线C₉₉₉、抛物线C₁₀₀₀于点P、M、N，作直线A₁₀₀₀M、A₁₀₀₀N，当∠PA₁₀₀₀M=45°时，求sin∠PA₁₀₀₀M的值．

Answer 1

分析 （1）根据顶点式即可求出C₁，C₄的解析式；
（2）由特殊出发，可以发现抛物线C₂₇、C₂₈的解析式应该为：y₂₇=（x-27）²，y₂₈=-（x-28）²+1．则得到点E（30，9）、F（30，5），根据两点之间的距离公式即可求得EF；
（3）分两种情况：在A₁₀₀₀（999，0）点左侧；在A₁₀₀₀（999，0）点右侧；根据三角函数即可得到sin∠PA₁₀₀₀N的值．

解答 解：（1）∵A₁（0，1）、A₂（1，0）、A₃（2，1）
∴A₁（0，1）、A₃（2，1）关于x=1对称，
∴C₁的对称轴为x=1，
同理C₂的对称轴为x=2，
故答案为1，2；
由顶点式求出C₃的解析式为：y=（x-3）²，C₄的解析式为：y=-（x-4）²+1．                
（2）由特殊出发，可以发现这组抛物线解析式的特点：
y₁=（x-1）²，
y₂=-（x-2）²+1，
y₃=（x-3）²，
y₄=-（x-4）²+1，
…
∴抛物线C₂₇、C₂₈的解析式应该为：y₂₇=（x-27）²，y₂₈=-（x-28）²+1．
∴当e=30时，f₁=（30-27）²=9，f₂=（30-28）²+1=5，
∴EF=f₁-f₂=4．
（3）由（2）中发现的规律可知，抛物线C₉₉₉、C₁₀₀₀解析式分别为：y=（x-999）²，
y=-（x-1000）²+1．
点A₁₀₀₀坐标为（999，0）．
顺便指向，由（2）的研究经验发现，可以退回简单的抛物线C₃、C₄的情况来研究．分以下两种情况，如图

在A₁₀₀₀（999，0）点左侧，当m=998时，M（998，1）此时有∠PA₁₀₀₀M=45°，N（998，-3），相应的sin∠PA₁₀₀₀N的值为$\frac{3\sqrt{10}}{10}$；  
在A₁₀₀₀（999，0）点右侧，当m=1000时，M（1000，1）此时有∠PA₁₀₀₀M=45°，N（1000，1），相应的sin∠PA₁₀₀₀N的值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：顶点式求抛物线的解析式，两点之间的距离公式，勾股定理逆定理，分类思想的应用，三角函数的知识．综合性较强，有一定的难度．