Question

如图，在矩形ABCD中，M是BC上一动点，DE⊥AM，E为垂足，3AB=2BC，并且AB，BC的长是方程x²-（k-2）x+2k=0的两个根，
（1）求k的值；
（2）当点M离开点B多少距离时，△AED的面积是△DEM面积的3倍？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据根与系数的关系，列出方程组解答；
（2）根据（1）中k的值解方程，求出AD和BC的长，然后根据相似三角形的性质解答．

解答：解：（1）根据题意列方程组得：

AB+BC=k-2 AB•BC=2k AB= 2 3 BC

解得

5 3 BC=k-2 2 3 BC2=2k

，
即3k²-37k+12=0，解得k=12或k=

1

3

．

（2）把k=12或k=

1

3

分别代入方程x²-（k-2）x+2k=0中，
当k=12时原方程可化为x²-10x+24=0，
解得x=4或x=6，
∵3AB=2BC，∴AB=4，BC=6．
当k=

1

3

时原方程可化为x²+

5

3

x+

2

3

=0，解得x=-

2

3

或x=-1（不合题意舍去）．
故AB=4，BC=6，
∵△AED的面积是△DEM的高相同，
∴△AED的面积是△DEM面积的3倍则AE=3ME，设
ME=x，则AE=3x，设BM=y．
在Rt△AED与Rt△MBA中，∵∠ABM=∠AED=90°，∠AMB=∠DAE，故两三角形相似，
由勾股定理得AB²+BM²=16x²----①，解得BM=

16x2-16

，
即

AE

MB

=

AD

AM

，即

3x

16x2-16

=

6

4x

----②，
整理得x⁴-4x²+4=0，解得x²=2，x=

2

．
于是BM=

16x2-16

=

16×2-16

=4．
当点M离开点B的距离为4时，△AED的面积是△DEM面积的3倍．

点评：此题将动点问题与一元二次方程和矩形的性质相结合，通过相似三角形和同高不等底的三角形的性质，将面积关系转化为线段的性质解答．