Question

10．二次函数y=x²-2mx+3（m＞$\sqrt{3}$）的图象与x轴交于点A（a，0）和点B（a+n，0）（n＞0且n为整数），与y轴交于C点．
（1）若a=1，①求二次函数关系式；②求△ABC的面积；
（2）求证：a=m-$\frac{n}{2}$；
（3）线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，求a的值．

Answer 1

分析 （1）①首先根据a=1求得A的坐标，然后代入二次函数的解析式，求得m的值即可确定二次函数的解析式；
②根据解析式确定抛物线与坐标轴的交点坐标，从而确定三角形的面积；
（2）将原二次函数配方后即可确定其对称轴为x=m，然后根据A、B两点关于x=m对称得到a+n-m=m-a，从而确定a、m、n之间的关系；
（3）根据a=m-$\frac{3}{2}$得到A（m-$\frac{3}{2}$，0）代入y=（x-m）²-m²+3得0=（m-$\frac{3}{2}$-m）²-m²+3，求得m的值即可确定a的值．

解答 解：（1）①∵a=1，
∴A（1，0），
代入y=x²-2mx+3得1-2m+3=0，解得m=2，
∴y=x²-4x+3；
②在y=x²-4x+3中，当y=0时，有x²-4x+3=0可得x=1或x=3，
∴A（1，0）、B（3，0），
∴AB=2再根据解析式求出C点坐标为（0，3），
∴OC=3，
△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×2×3=3；
（2）∵y=x²-2mx+3=（x-m）²-m²+3，
∴对称轴为直线x=m，
∵二次函数y=x²-2mx+3的图象与x轴交于点A和点B
∴点A和点B关于直线x=m对称，
∴a+n-m=m-a，
∴a=m-$\frac{n}{2}$；
（3）y=x²-2mx+3（m＞$\sqrt{3}$）化为顶点式为y=（x-m）²-m²+3（m＞$\sqrt{3}$）
①当a为整数，因为n＞0且n为整数 所以a+n是整数，
∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，
∴n=2，
∴a=m-1，
∴A（m-1，0）代入y=（x-m）²-m²+3得（x-m）²-m²+3=0，
∴m²-4=0，
∴m=2，m=-2（舍去），
∴a=2-1=1，
②当a不是整数，因为n＞0且n为整数 所以a+n不是整数，
∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，
∴n=3，
∴a=m-$\frac{3}{2}$，
∴A（m-$\frac{3}{2}$，0）代入y=（x-m）²-m²+3得0=（m-$\frac{3}{2}$-m）²-m²+3，
∴m²=$\frac{21}{4}$，
∴m=$\frac{\sqrt{21}}{2}$，m=-$\frac{\sqrt{21}}{2}$（舍去），
∴a=$\frac{\sqrt{21}}{2}-\frac{3}{2}$，
综上所述：a=1或a=$\frac{\sqrt{21}}{2}-\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的综合知识，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．