Question

观察下列各式：

1

2

=

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

6

=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

20

=

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，

1

30

=

1

5×6

=

1

5

-

1

6

，…
（1）请猜想出表示上面各式的特点的一般规律，用含x（x表示正整数）的等式表示出来

1

x(x+1)

=

1x

-

1

x+1

．
（2）请利用上述规律计算：

1

2

+

1

6

+

1

12

+…+

1

(x-1)x

+

1

x(x+1)

．（x为正整数）
（3）请利用上述规律，解方程：

1

(x-2)(x-1)

+

1

(x-1)x

+

1

x(x+1)

=

1

x+1

．

Answer 1

分析：（1）观察一系列等式得出一般性规律，写出即可；
（2）利用得出的规律化简所求式子计算即可得到结果；
（3）利用得出的规律化简方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

解答：解：（1）

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

；

（2）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

x-1

-

1

x

+

1

x

-

1

x+1

，
=1-

1

x+1

，
=

x

x+1

；

（3）方程变形得：

1

x-2

-

1

x-1

+

1

x-1

-

1

x

+

1

x

-

1

x+1

=

1

x+1

，
整理得：

1

x-2

-

1

x+1

=

1

x+1

，
去分母得：x+1-x+2=x-2，
解得：x=5，
检验：将x=5代入原方程得：左边

1

6

=右边，
∴原方程的根为x=5．

点评：此题考查了解分式方程，以及分式的加减法，弄清题中的规律是解本题的关键．