Question

图1至图4的正方形霓虹灯广告牌ABCD都是20×20的等距网格（每个小方格的边长均为1个单位长），其对称中心为点O．
如图1，有一个边长为6个单位长的正方形EFGH的对称中心也是点O，它以每秒1个单位长的速度由起始位置向外扩大（即点O不动，正方形EFGH经过一秒由6×6扩大为8×8；再经过一秒，由8×8扩大为10×10；…），直到充满正方形ABCD，再以同样的速度逐步缩小到起始时的大小，然后一直不断地以同样速度再扩大、再缩小．
另有一个边长为6个单位长的正方形MNPQ从如图1所示的位置开始，以每秒1个单位长的速度，沿正方形ABCD的内侧边缘按A→B→C→D→A移动（即正方形MNPQ从点P与点A重合位置开始，先向左平移，当点Q与点B重合时，再向上平移，…）．
正方形EFGH和正方形MNPQ从如图1的位置同时开始运动，设运动时间为x秒，它们的重叠部分面积为y个平方单位．
（1）当正方形MNPQ第一次回到起始位置时，正方形EFGH是否也变化到起始位置？
（2）请你在图2和图3中分别画出x为3秒、18秒时，正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重叠部分（重叠部分用阴影表示），并分别写出重叠部分的面积；
（3）正方形EFGH第一次充满正方形ABCD之前（即x≤7时），何时正方形EFGH和正方形MNPQ重叠部分的面积为3平方单位．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意得：正方形EFGH每次变化到起始位置所需时间为14秒，正方形MNPQ第一次回到起始位置所需时间为56秒，又由56÷14=4，即可得此时正方形EFGH也变化到起始位置；
（2）根据题意即可作出图形，由图形即可得当x=3时，y=10； 当x=18时，y=18；
（3）分别从①当x＜1时，②当1≤x≤3.5时，③当3.5≤x≤7时去分析，根据题意列方程，解方程即可求得答案．
解答：解：（1）正方形EFGH每次变化到起始位置所需时间为14秒，正方形MNPQ第一次回到起始位置所需时间为56秒，
∵56÷14=4，
∴此时正方形EFGH也变化到起始位置．…（2分）

（2）相应的图形如图1、图2．…（6分）
当x=3时，y=10；    
当x=18时，y=18．  …（7分）

（3）①当x＜1时，两正方形无重叠；
②当1≤x≤3.5时，如图3：
延长MN交AD于K，设MN与HG交于S，MQ与FG交于T，
则MK=6+x，SK=TQ=7-x，
从而MS=MK-SK=2x-1，MT=MQ-TQ=6-（7-x）=x-1．
∴y=MT•MS=（x-1）（2x-1）=2x²-3x+1． …（10分）
令y=3，则2x²-3x+1=3
解之得：x₁=-（舍去），x₂=2，…（12分）
③当3.5≤x≤7时，y=MN•MT=6（x-1）=6x-6
令y=3，则6x-6=3，解得：x=（不合题意，舍去）
∴当x=2时，重叠部分的面积为3平方单位．…（14分）
点评：此题考查了二次函数的综合应用．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是理解题意，找到规律：正方形EFGH每次变化到起始位置所需时间为14秒，正方形MNPQ第一次回到起始位置所需时间为56秒，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．