Question

8．江南实验学校准备用9万元购进50台电视机，为了节省费用，学校打算以出厂价从厂家直接采购，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．
（1）若学校同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请研究一下学校的采购方案；
（2）若学校去商场购买，在出厂价相同的情况下，商场销售一台甲种电视机获利150元，销售一台乙种电视机获利200元，销售一台丙种电视机获利250元，在（1）的条件下，学校选择哪种方案省下的钱最多？
（3）若学校准备用9万元同时购进三种不同的电视机50台，请你设计进货方案．

Answer 1

分析 （1）根据题意可以利用分类讨论的数学思想列出各种情况，写出各种情况相应的方程，从而可以解答本题；
（2）根据（1）中的结果可以计算出商场的获利，然后比较大小即可解答本题；
（3）根据题意可以列出相应的三元一次方程组，注意x、y、z都是正整数，从而可以解答本题．

解答 解：（1）设学校购买甲种型号的电视机x台，购买乙种型号的电视剧y台，购买丙种型号的电视机z台，
若学校购买甲种型号的电视机和乙种型号的电视机，
$\left\{\begin{array}{l}{x+y=50}\\{1500x+2100y=90000}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=25}\\{y=25}\end{array}\right.$，
若学校购买甲种型号的电视机和丙种型号的电视机，
$\left\{\begin{array}{l}{x+z=50}\\{1500x+2500z=90000}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=35}\\{z=15}\end{array}\right.$，
若学校购买乙种型号的电视机和丙种型号的电视机，
$\left\{\begin{array}{l}{y+z=50}\\{2100y+2500z=90000}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{y=87.5}\\{z=-37.5}\end{array}\right.$（舍去），
答：学校的采购方案是购买甲种型号的电视机25台和乙种型号的电视机25台或购买甲种型号的电视机35台和丙种型号的电视机15台；
（2）当购买甲种型号的电视机25台和乙种型号的电视机25台时，
商场获利为：150×25+200×25=8750（元），
当购买甲种型号的电视机35台和丙种型号的电视机15台时，
商场获利为：150×35+250×15=9000（元），
∵8750＜9000，
∴学校选择购买甲种型号的电视机25台和乙种型号的电视机25台这种方案更省钱，
答：学校选择购买甲种型号的电视机25台和乙种型号的电视机25台这种方案更省钱；
（3）设学校购买甲种型号的电视机x台，购买乙种型号的电视剧y台，购买丙种型号的电视机z台，
$\left\{\begin{array}{l}{x+y+z=50}\\{1500x+2100y+2500z=90000}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=27}\\{y=20}\\{z=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=29}\\{y=15}\\{z=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=31}\\{y=10}\\{z=9}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=33}\\{y=5}\\{z=12}\end{array}\right.$，
答：有四种购买方案，
方案一：购买甲种型号的电视机27台，购买乙种型号的电视剧20台，购买丙种型号的电视机3台，
方案二：购买甲种型号的电视机29台，购买乙种型号的电视剧15台，购买丙种型号的电视机6台，
方案三：购买甲种型号的电视机31台，购买乙种型号的电视剧10台，购买丙种型号的电视机9台，
方案四：购买甲种型号的电视机33台，购买乙种型号的电视剧5台，购买丙种型号的电视机12台．

点评 本题考查解二元一次方程组的应用、三元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用分类讨论的数学思想解答．