Question

如图1，已知抛物线C₁：y=x²-2x+c和直线l：y=-2x+8，直线y=kx（k＞0）与抛物线C₁交于两不同点A、B，与直线l交于点P．且当k=2时，直线y=kx（k＞0）与抛物线C₁只有一个交点．
（1）求c的值；
（2）求证：

1

OA

+

1

OB

=

2

OP

，并说明k满足的条件；
（3）将抛物线C₁沿第一象限夹角平分线的方向平移

2

t（t＞0）个单位，再沿y轴负方向平移（t²-t）个单位得到抛物线C₂，设抛物线C₁和抛物线C₂交于点R；如图2．
①求证无论t为何值，抛物线C₂必过定点，并判断该定点与抛物线C₁的位置关系；
②设点R关于直线y=1的对称点Q，抛物线C₁和抛物线C₂的顶点分别为点M、N，若∠MQN=90°，求此时t的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将y=2x代入y=x²-2x+c，可得关于x的一元二次方程，由于两个函数只有一个交点，那么方程的根的判别式△=0，可据此求出c的值；
（2）讨论

1

OA

+

1

OB

与

2

OP

的关系，虽然都在同一直线上，但因为不平行与x轴或y轴，所以并不易直接讨论，通常我们过这三点分别作A、P、B关于x轴的垂线则将OA，OB，OP，转化为x_A，x_B，x_P，则由函数图象交点性质及韦达定理等知识，易证结论．而k只需满足题目要求，使得图象有两个相异的交点A，B．
（3）①二次函数的平移我们通常考虑其顶点式，利用左加右减，上加下减的性质进行．将抛物线C₁沿第一象限夹角平分线的方向平移

2

t（t＞0）个单位，就是将抛物线向右再向上依次平移t个单位，则易得C₂．恒过定点即使得t的系数为0，已知定点为（2，4），而讨论其与C₁的关系，一般讨论代入后是否满足以决定是否在抛物线上．代入发现，其在C₁上，又由其在C₂上，则此顶点即是R点．
②由Q与R关于y=1对称，则Q点横坐标与R相同，纵坐标到y=1的距离等于R到y=1的距离，易得Q（2，-2）．已知解析式，易得顶点式，即得M，N坐标．讨论∠MQN=90°，我们通常利用MQ²+NQ²=MN²推出关于t的方程，解之即可．

解答：解
（1）将y=2x代入y=x²-2x+c，得2x=x²-2x+c，
整理，得x²-4x+c=0，
∵直线与抛物线只有一个交点，
∴△=（-4）²-4c=0，
解得 c=4．

（2）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵A、B为y=kx与C₁的交点，
∴A、B坐标满足

y=kx y=x2-2x+4

，
∴x₁，x₂满足x²-（2+k）x+4=0，
∵A、B存在且不重合，
∴△=（2+k）²-16＞0，
∴k＞2或k＜-6．
如图1，

过A、P、B分别作x轴的垂线，交于A₁、P₁、B₁，
则

OA1

OA

=

OP1

OP

=

OB1

OB

，进而讨论

1

OA

+

1

OB

与

2

OP

的关系，讨论

1

OA1

+

1

OB1

与

2

OP1

即可．
∵x₁+x₂=2+k，x₁x₂=4，OA₁=x₁，OB₁=x₂，
∴

1

OA1

=

1

0B1

=

1

x1

+

1

x2

=

2+k

4

．
∵P（x，y）满足

y=kx y=-2x+8

，
∴（k+2）x=8，
∴x=

8

2+k

，
∴OP₁=

8

2+k

，
∴

2

OP1

=

2+k

4

，
∴

1

OA1

+

1

OB1

=

2

OP1

，
∴

1

OA

+

1

OB

=

2

OP

，且k的条件为：k＞2或k＜-6．

（3）
①
∵C₁：y=x²-2x+4=（x-1）²+3，
∵抛物线C₁沿第一象限夹角平分线的方向平移

2

t（t＞0）个单位，再沿y轴负方向平移（t²-t）个单位得到抛物线C₂，
∴抛物线C₂亦可看成抛物线C₁向右向上依次移动t个单位，再向下平移（t²-t）个单位得到的抛物线，
∵C₂：y=（x-1-t）²+3+t-（t²-t）=x²-2x+（4-2x）t+4，
∴定点为 （2，4），
∵将x=2代入C₁，y=2²-2•2+4=4，
∴定点为 （2，4）在C₁上，即R为（2，4）．

②
∵R、Q关于直线y=1对称，且R（2，4），
∴Q（2，-2），
∵C₁：y=（x-1）²+3，
∴M（1，3），
∵C₂：y=x²-2（t+1）x+4t+4=[x-（t+1）]²-t²+2t+3，
∴N（t+1，-t²+2t+3）．
∴MQ²=（2-1）²+[3-（-2）]²=26，MN²=（t+1-1）²+（-t²+2t+3-3）²，NQ²=（t+1-2）²+[-t²+2t+3-（-2）]²，
∵∠MQN=90°，
∴MQ²+NQ²=MN²，
∴26+（t+1-2）²+[-t²+2t+3-（-2）]²=（t+1-1）²+（-t²+2t+3-3）²，
整理得 5t²-9t-26=0，
解得 t=

9+ 601

10

，或t=

9- 601

10

（负值舍去）．

点评：本题是一道综合型极高的题目难度也很大．题中考查了函数的性质，一次函数、二次函数的特性及平行线成比例、对称、平移、垂直等性质，尤其是（2）的思路技巧相对固定，学生需要加强理解，好好掌握．