Question

4．如图，△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=45°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转角α得到△AEF，且0°＜α≤180°，连接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE=CF；
（2）当α=90°时，求四边形AEDC的面积．

Answer 1

分析 （1）先利用旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则根据“SAS”证明△AEB≌△AFC，于是得到BE=CF；
（2）先判断△ABE为等腰直角三角形得到∠ABE=45°，则AC∥BE，同理可得AE∥CF，于是可证明四边形AEDC为菱形，AF与BE交于点H，如图，通过证明△AHE为等腰直角三角形得到AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE=$\sqrt{2}$，然后根据菱形的面积公式计算．

解答 （1）证明：∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转角α得到△AEF，
∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，
∴AB=AC=AE=AF，∠EAF+∠FAB=∠BAC+∠FAB，即∠EAB=∠FAC，
在△AEB和△AFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{∠EAB=∠FAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△AFC，
∴BE=CF；
（2）解：∵α=90°，即∠EAB=∠FAC=90°，
∵AE=AB，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴∠ABE=45°，
∴∠ABE=∠BAC，
∴AC∥BE，
同理可得AE∥CF，
∵AE=AC，
∴四边形AEDC为菱形，
AF与BE交于点H，如图，
∵∠EAF=45°，
∴AH平分∠EAB，
∴AH⊥BE，
∴△AHE为等腰直角三角形，
∴AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE=$\sqrt{2}$，
∴四边形AEDC的面积=AH•DE=$\sqrt{2}$×2=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决（1）题的关键是证明△AEB≌△AFC．