Question

已知一次函数y=-x+3的图象与x轴交于点A、与y轴交于点B，BC∥x轴，且∠ACB的正切值为3．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）若某二次函数图象经过A、B、C三点，试求该图象的顶点坐标．

Answer 1

解：（1）设x=0，则y=0+3，解得y=3，
则B点的坐标为（0，3）
设y=0，则0=-x+3，
解得：x=3，则A点的坐标为（3，0），
过点C作CD⊥OD，垂足为D，
则AO=3，BO=CD=3，
又∵BC∥x轴，
∴∠ACB=∠CAD，
∵tan∠ACB=3，
∴tan∠CAD=3，
在△ACD中，
∵∠ADC=90°，tan∠CAD=3，CD=3，
∴AD=1，
∴OD=4，
∵C点的纵坐标和B点的纵坐标相同，
∴C（4，3）；

（2）设二次函数解析式为 y=ax²+bx+c，
∵函数图象经过A、B、C三点，
∴，
解得：；
∴二次函数解析式为y=x²-4x+3，
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，-1）．
分析：（1）对于一次函数y=-x+3中可分别设y=0，x=0，即可求出图象与x轴点A、与y轴交点B；再利用已知条件和解直角三角形的知识可求出C点的坐标；
（2）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c把A，B，C三点坐标代入，列方程组求a、b、c的值，即可求出二次函数解析式，再把函数解析式配方即可求出该图象的顶点坐标．
点评：本题考查了一次函数和两坐标轴的交点问题和用待定系数法求二次函数解析式的方法以及用配方法求二次函数的顶点坐标，解题的关键是根据条件确定抛物线解析式的形式，再求其中的待定系数．