Question

（2013•德宏州）如图，已知直线y=x与抛物线y=

1

2

x2交于A、B两点．
（1）求交点A、B的坐标；
（2）记一次函数y=x的函数值为y₁，二次函数y=

1

2

x2的函数值为y₂．若y₁＞y₂，求x的取值范围；
（3）在该抛物线上存在几个点，使得每个点与AB构成的三角形为等腰三角形？并求出不少于3个满足条件的点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据题意可以列出关于x、y的方程组

y=x y= 1 2 x2

，通过解方程组可以求得点A、B的坐标；
（2）根据函数图象可以直接回答问题；
（3）需要分类讨论：以AB为腰和以AB为底的等腰三角形．

解答：解：（1）如图，∵直线y=x与抛物线y=

1

2

x2交于A、B两点，
∴

y=x y= 1 2 x2

，
解得，

x=0 y=0

或

x=2 y=2

，
∴A（0，0），B（2，2）；

（2）由（1）知，A（0，0），B（2，2）．
∵一次函数y=x的函数值为y₁，二次函数y=

1

2

x2的函数值为y₂．
∴当y₁＞y₂时，根据图象可知x的取值范围是：0＜x＜2；

（3）该抛物线上存在4个点，使得每个点与AB构成的三角形为等腰三角形．理由如下：
∵A（0，0），B（2，2），
∴AB=2

2

．
根据题意，可设P（x，

1

2

x²）．
①当PA=PB时，点P是线段AB的中垂线与抛物线的交点．
易求线段AB的中垂线的解析式为y=-x+2，
则

y=-x+2 y= 1 2 x2

，
解得，

x1=- 5 -1 y1=3+ 5

，

x2= 5 -1 y2=3- 5

，
∴P₁（-

5

-1，3+

5

），P₂（

5

-1，3-

5

）；
②当PA=AB时，根据抛物线的对称性知，点P与点B关于y轴对称，即P₃（-2，2）；
③当AB=PB时，点P₄的位置如图所示．
综上所述，符号条件的点P有4个，其中P₁（-

5

-1，3+

5

），P₂（

5

-1，3-

5

），P₃（-2，2）．

点评：本题考查了二次函数综合题．其中涉及到的知识点有待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的性质以及等腰三角形的性质．解题时，利用了“分类讨论”和“数形结合”的数学思想．