Question

15．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1．有位学生写出了以下五个结论：
（1）ac＞0； 
（2）方程ax²+bx+c=0的两根是x₁=-1，x₂=3； 
（3）2a-b=0；
（4）当x＞1时，y随x的增大而减小； 
则以上结论中正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由函数图象可得抛物线开口向下，得到a小于0，又抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，得到c大于0，进而得到a与c异号，根据两数相乘积为负得到ac小于0，即可判断（1）；由抛物线与x轴的交点为（3，0）及对称轴为x=1，利用对称性得到抛物线与x轴另一个交点为（-1，0），进而得到方程ax²+bx+c=0的两根分别为-1和3，即可判断（2）；由抛物线的对称轴为x=1，利用对称轴公式得到2a+b=0，即可判断（3）；由抛物线的对称轴为直线x=1，得到对称轴右边y随x的增大而减小，对称轴左边y随x的增大而增大，故x＞1时，y随x的增大而减小，即可判断（4）．

解答 解：由二次函数y=ax²+bx+c的图象可得：抛物线开口向下，即a＜0，
抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，即c＞0，
ac＜0，（1）错误；
由图象可得抛物线与x轴的一个交点为（3，0），又对称轴为直线x=1，
抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0），
则方程ax²+bx+c=0的两根是x₁=-1，x₂=3，（2）正确．
∵对称轴为直线x=1，
∴-$\frac{b}{2a}$=1，即2a+b=0，（3）错误；
由函数图象可得：当x＞1时，y随x的增大而减小，故（4）正确；
综上所知正确的有（2）（4）两个，
故选B．

点评 本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．