Question

已知关于x的二次函数y₁和y₂，其中y₁的图象开口向下，与x轴交于点A（-2，0）和点B（4，0），对称轴平行于y轴，其顶点M与点B的距离为5，而y2=-

4

9

x2-

16

9

x+

2

9

．
（I）求二次函数y₁的解析式；
（II）把y₂化为y₂=a（x-h）²+k的形式；
（III）将y₁的图象经过怎样的平移能得到y₂的图象．

Answer 1

分析：（I）根据y₁的图象与x轴交于点A（-2，0）和点B（4，0），得出二次函数对称轴，再利用顶点式求出二次函数解析式即可；
（ II）利用配方法求出二次函数的顶点坐标即可；
（ III）结合二次函数平移性质，左加右减，上加下减，即可得出答案．

解答：解：（I）∵y₁的图象与x轴交于点A（-2，0）和点B（4，0），
∴对称轴为x=1，
设对称轴与x轴的交点为N，则N（1，0）BN=3，
∵MB=5，
∴顶点M的坐标为（1，4），
设所求解析式为y₁=a（x-1）²+4，
将B（4，0）代入求得a=-

4

9

，
即y1=-

4

9

(x-1)2+4=-

4

9

x2+

8

9

x+

32

9

；

（ II）y2=-

4

9

x2-

16

9

x+

2

9

，
=-

4

9

(x2+4x+4-4)+

2

9

=-

4

9

(x+2)2+2；

（ III）把将y₁的图象向下平移两个单位，
再向左平移3个单位就能得到y₂的图象．

点评：此题主要考查了二次函数的平移以及顶点式求二次函数解析式和配方法求二次函数顶点坐标，此题比较基础，同学们在计算过程中应注意计算要认真．