Question

如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，2），连结BC、AD.

【小题1】求C点的坐标及抛物线的解析式；
【小题2】将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后再沿x轴对折得到△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；
【小题3】设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q. 问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

【小题1】∵四边形OBHC为矩形，∴CD∥AB，

又D（5，2），
∴C（0，2），OC="2" . …………………………… 2分
∴   解得
∴抛物线的解析式为：…… 4分
【小题2】点E落在抛物线上. 理由如下：……… 5分
由y = 0，得.
解得x1=1，x2="4." ∴A（4，0），B（1，0）.  …………………………… 6分
∴OA=4，OB=1.
由矩形性质知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，
由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，
∴点E的坐标为（3，－1）. ……………………………………………… 7分
把x=3代入，得，
∴点E在抛物线上. ………………………………………………………… 8分
【小题3】法一：存在点P（a，0），延长EF交CD于点G，易求OF=CG=3，PB=a－1.
S梯形BCGF = 5，S梯形ADGF = 3，记S梯形BCQP = S1，S梯形ADQP = S2，
下面分两种情形：
①当S1∶S2 =1∶3时，，
此时点P在点F（3，0）的左侧，则PF = 3－a，
由△EPF∽△EQG，得，则QG=9－3a，
∴CQ=3－(9－3a) ="3a" －6
由S1=2，得，解得；………………… 11分
②当S1∶S2=3∶1时，
此时点P在点F（3，0）的右侧，则PF = a－3，
由△EPF∽△EQG，得QG = 3a－9，∴CQ =" 3" +（3 a－9）=" 3" a－6，
由S1= 6，得，解得.
综上所述：所求点P的坐标为（，0）或（，0）……… 14分
法二：存在点P（a，0）. 记S梯形BCQP = S1，S梯形ADQP = S2，易求S梯形ABCD = 8.
当PQ经过点F（3，0）时，易求S1=5，S2 = 3，
此时S1∶S2不符合条件，故a≠3.
设直线PQ的解析式为y = kx+b(k≠0)，则，解得，
∴. 由y = 2得x = 3a－6，∴Q（3a－6，2）…… 10分
∴CQ = 3a－6，BP = a－1，.
下面分两种情形：
①当S1∶S2 = 1∶3时，= 2；
∴4a－7 = 2，解得；…………………………………………… 12分
②当S1∶S2 = 3∶1时，；
∴4a－7 = 6，解得；
综上所述：所求点P的坐标为（，0）或（，0）………… 14分

解析