Question

8．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AG=6，EG=2$\sqrt{5}$，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；
（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=$\frac{1}{2}$GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF²=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；
（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD-GH求解即可．

解答 解：（1）证明：∵GE∥DF，
∴∠EGF=∠DFG．
∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，
∴∠DGF=∠DFG．
∴GD=DF．
∴DG=GE=DF=EF．
∴四边形EFDG为菱形．
（2）EG²=$\frac{1}{2}$GF•AF．
理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．

∵四边形EFDG为菱形，
∴GF⊥DE，OG=OF=$\frac{1}{2}$GF．
∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，
∴△DOF∽△ADF．
∴$\frac{DF}{AF}=\frac{FO}{DF}$，即DF²=FO•AF．
∵FO=$\frac{1}{2}$GF，DF=EG，
∴EG²=$\frac{1}{2}$GF•AF．
（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．

∵EG²=$\frac{1}{2}$GF•AF，AG=6，EG=2$\sqrt{5}$，
∴20=$\frac{1}{2}$FG（FG+6），整理得：FG²+6FG-40=0．
解得：FG=4，FG=-10（舍去）．
∵DF=GE=2$\sqrt{5}$，AF=10，
∴AD=$\sqrt{A{F}^{2}-D{F}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
∵GH⊥DC，AD⊥DC，
∴GH∥AD．
∴△FGH∽△FAD．
∴$\frac{GH}{AD}=\frac{FG}{AF}$，即$\frac{GH}{4\sqrt{5}}$=$\frac{4}{10}$．
∴GH=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
∴BE=AD-GH=4$\sqrt{5}$-$\frac{8\sqrt{5}}{5}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF²=FO•AF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键．