Question

如图，∠B=90°，AB=6，BC=8，DE⊥AC交BC于点D，交AC于点E．设CD的长为x，四边形AEDB面积为y．
（1）写出y与x的关系式；
（2）当CD为何值时，四边形AEDB的面积为20？

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,一元二次方程的应用

专题：

分析：（1）运用勾股定理求出AC的长，再利用正弦值求出DE，CE，再利用四边形AEDB面积=△ABC的面积-△CDE的面积，求出y与x的关系式．
（2）令y=20，求出x即可．

解答：解：（1）∵∠B=90°，AB=6，BC=8，
∴AC=

AB2+BC2

=10，
∴sinC=

AB

AC

=

3

5

x，cosC=

BC

AC

=

4

5

，
∵CD的长为x，
∴sinC=

DE

CD

=

3

5

，cosC=

CE

CD

=

4

5

∴DE=

3

5

x，CE=

4

5

x．
∵四边形AEDB面积=△ABC的面积-△CDE的面积，
∴y=

1

2

×6×8-

1

2

×

4

5

x•

3

5

x，即y=24-

6

25

x²．
（2）把y=20，代入y=24-

6

25

x²得20=24-

6

25

x²．
解得x=

10 6

6

．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质及一元二次方程的应用，解题的关键是运用四边形AEDB面积=△ABC的面积-△CDE的面积，求出y与x的关系式．