Question

【题目】学完第2章“特殊的三角形”后，老师布置了一道思考题：
如图，点M、N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．

（1）判断△ABM与△BCN是否全等，并说明理由．
（2）判断∠BQM是否会等于60°，并说明理由．
（3）若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，且BM=CN，是否能得到∠BQM=60°？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：全等，理由：

∵AB=BC，∠ABM=∠BCN=60°，BM=CN，

∴△ABM≌△BCN（SAS）；

（2）解：∵△ABM≌△BCN，

∴∠CBN=∠BAM，

∴∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=∠ABC=60°；

（3）解：能得到∠BQM=60°．理由如下：

同（1）可证△ABM≌△BCN（SAS），

∴∠M=∠N，

∵∠QAN=∠CAM，∠BQM=∠N+∠QAN，∠ACB=∠M+∠CAM，

∴∠BQM=∠ACB=60°．

【解析】（1）因为AB=BC，∠ABM=∠BCN=60°，BM=CN，利用SAS可以证明；（2）根据两个三角形全等，对应角相等可得∠CBN=∠BAM，则∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=∠ABC=60°；（3）和（1）同样的求法可得△ABM≌△BCN，然后利用三角形外角的性质求∠BQM=60°．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等边三角形的性质的相关知识，掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°．