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【题目】如图,在菱形ABCD中,对角线ACBD交于点O,已知AC=2AB=5

1)求BD的长;

2)点E为直线AD上的一个动点,连接CE,将线段EC绕点C顺时针旋转∠BCD的角度后得到对应的线段CF(即∠ECF=BCD),EFCD于点P

①当EAD的中点时,求EF的长;

②连接AFDF,当DF的长度最小时,求ACF的面积.

【答案】1BD=4;(2EF=2DF的长度最小时,ACF的面积为14

【解析】

1)由菱形的性质得出AD=AB=BC=CD=5ACBD由勾股定理求出OB,即可得出BD的长;

2)①过点CCHADH,由菱形的性质和三角函数得出求出AH=2,由勾股定理求出求出再由勾股定理求出证明△BCD∽△ECF,得出即可得出结果;

②先证明△BCE≌△DCF,得出BE=DF,当BE最小时,DF就最小,且BEDE时,BE最小,此时∠EBC=FDC=90°,BE=DF=4,△EBC的面积=ABC的面积=DCF的面积,则四边形ACFD的面积=2ABC的面积=20,过点FFHADH,过点CCPADP,则∠CPD=90°,证明△PCD∽△HDF,得出求出即可得出△ACF的面积.

1四边形ABCD是菱形,

∴AD=AB=BC=CD=5AC⊥BDOA=OC=AC=OB=OD

Rt△ABO中,由勾股定理得:OB===2

∴BD=2OB=4

2过点CCH⊥ADH,如图1所示:

四边形ABCD是菱形,

∴∠BAC=∠DAC

∴cos∠BAC=cos∠DAC

==,即=

∴AH=2

∴CH==4

∵EAD的中点,

∴AE=AD=

∴HE=AE-AH=

Rt△CHE中,由勾股定理得:EC==

由旋转的性质得:∠ECF=∠BCDCF=CE

=

∴△BCD∽△ECF

,即=

解得:EF=2

如图2所示:

∵∠BCD=∠ECF

∴∠BCD-DCE=∠ECF-∠DCE,即∠BCE=∠DCF

△BCE△DCF中,

∴△BCE≌△DCFSAS),

∴BE=DF

BE最小时,DF就最小,且BE⊥DE时,BE最小,

此时∠EBC=∠FDC=90°BE=DF=4△EBC的面积=△ABC的面积=△DCF的面积,

则四边形ACFD的面积=2△ABC的面积=5×4=20

过点FFH⊥ADH,过点CCP⊥ADP

∠CPD=90°

∴∠PCD+∠PDC=90°

∵∠FDC=90°

∴∠PDC+∠HDF=90°

∴∠PCD=∠HDF

∴△PCD∽△HDF

==

∴HF=4×=

∴△ADF的面积=ADHF=×5×=6

∴△ACF的面积=四边形ACFD的面积-△ADF的面积=20-6=14

即当DF的长度最小时,△ACF的面积为14

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