【题目】如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,已知AC=2,AB=5.
(1)求BD的长;
(2)点E为直线AD上的一个动点,连接CE,将线段EC绕点C顺时针旋转∠BCD的角度后得到对应的线段CF(即∠ECF=∠BCD),EF交CD于点P.
①当E为AD的中点时,求EF的长;
②连接AF、DF,当DF的长度最小时,求△ACF的面积.
【答案】(1)BD=4;(2)①EF=2;②当DF的长度最小时,△ACF的面积为14.
【解析】
(1)由菱形的性质得出AD=AB=BC=CD=5,AC⊥BD,由勾股定理求出OB,即可得出BD的长;
(2)①过点C作CH⊥AD于H,由菱形的性质和三角函数得出求出AH=2,由勾股定理求出求出再由勾股定理求出证明△BCD∽△ECF,得出即可得出结果;
②先证明△BCE≌△DCF,得出BE=DF,当BE最小时,DF就最小,且BE⊥DE时,BE最小,此时∠EBC=∠FDC=90°,BE=DF=4,△EBC的面积=△ABC的面积=△DCF的面积,则四边形ACFD的面积=2△ABC的面积=20,过点F作FH⊥AD于H,过点C作CP⊥AD于P,则∠CPD=90°,证明△PCD∽△HDF,得出求出即可得出△ACF的面积.
(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=AB=BC=CD=5,AC⊥BD,OA=OC=AC=,OB=OD,
在Rt△ABO中,由勾股定理得:OB===2,
∴BD=2OB=4;
(2)①过点C作CH⊥AD于H,如图1所示:
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠BAC=∠DAC,
∴cos∠BAC=cos∠DAC,
∴==,即=,
∴AH=2,
∴CH==4,
∵E为AD的中点,
∴AE=AD=,
∴HE=AE-AH=,
在Rt△CHE中,由勾股定理得:EC==,
由旋转的性质得:∠ECF=∠BCD,CF=CE,
∴=,
∴△BCD∽△ECF,
∴,即=,
解得:EF=2;
②如图2所示:
∵∠BCD=∠ECF,
∴∠BCD-DCE=∠ECF-∠DCE,即∠BCE=∠DCF,
在△BCE和△DCF中,,
∴△BCE≌△DCF(SAS),
∴BE=DF,
当BE最小时,DF就最小,且BE⊥DE时,BE最小,
此时∠EBC=∠FDC=90°,BE=DF=4,△EBC的面积=△ABC的面积=△DCF的面积,
则四边形ACFD的面积=2△ABC的面积=5×4=20,
过点F作FH⊥AD于H,过点C作CP⊥AD于P,
则∠CPD=90°,
∴∠PCD+∠PDC=90°,
∵∠FDC=90°,
∴∠PDC+∠HDF=90°,
∴∠PCD=∠HDF,
∴△PCD∽△HDF,
∴==,
∴HF=4×=,
∴△ADF的面积=ADHF=×5×=6,
∴△ACF的面积=四边形ACFD的面积-△ADF的面积=20-6=14,
即当DF的长度最小时,△ACF的面积为14.
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,D为BC的中点,若动点E以1cm/s的速度从A点出发,沿着A→B→A的方向运动,设E点的运动时间为t秒(0≤t<6),连接DE,当△BDE是直角三角形时,t的值为
A、2 B、2.5或3.5 C、3.5或4.5 D、2或3.5或4.5
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【题目】 定义:在凸四边形中,我们把两组对边乘积的和等于对角线的乘积的四边形称为“完美四边形”
(1)在正方形、矩形、菱形中,一定是“完美四边形”的是______.
(2)如图1,在△ABC中,AB=2,BC=,AC=3,D为平面内一点,以A、B、C、D四点为顶点构成的四边形为“完美四边形”,若DA,DC的长是关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+(5m2-2m+13)=0(其中m为常数)的两个根,求线段BD的长度.
(3)如图2,在“完美四边形”EFGH中,∠F=90°,EF=6,FG=8,求“完美四边形”EFGH面积的最大值.
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【题目】如图,利用一面墙(墙的长度为15 m),用篱笆围成一个矩形花园ABCD,中间再用一道篱笆隔成两个小矩形,共用去篱笆42 m.设平行于墙的一边BC长为x m,花园的面积为S m2.
(1)求S与x之间的函数解析式;
(2)问花园面积可以达到120平方米吗?如果能,花园的长和宽各是多少?如果不能,请说明理由.
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【题目】如图,直线y=2x+b与双曲线y=(k>0)交于点A、D,直线AD交y轴、x轴于点B、C,直线y=-+n过点A,与双曲线y=(k>0)的另一个交点为点E,连接BE、DE,若S△ABE=4,且S△ABE:S△DBE=3:4,则k的值为___.
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【题目】有一 列数是7、9、3、7、6、9、11、8、 2、9、10,中位数是多少?这列数若再加入3和1000两个数,那么中位数会改变吗?平均数又会有什么变化?
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【题目】如图已知抛物线y=﹣x2+(1﹣m)x﹣m2+12交x轴于点A,交y轴于点B(0,3),顶点C位于第二象限,连接AB,AC,BC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在x轴上是否存在点P,使得△PAB的面积等于△ABC的面积?如果存在,求出点P的坐标.
(3)将△ABC沿x轴向右移动t个单位长度(0<t<1)时,平移后△ABC和△ABO重叠部分的面积为S,求S与t之间的函数关系.
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【题目】如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,点D、E分别是AB、BC的中点,把△BDE绕点B旋转,连接AD、AE、CD、CE,如图2.
(1)求证:△BDE∽△BAC.
(2)求△ABE面积最大时,△ADE的面积.
(3)在旋转过程中,当点D落在△ACE的边所在直线上时,直接写出CE的长.
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