【题目】如图1,在平面直角坐标系中,直线与轴、轴分别交于、两点,抛物线经过、两点,与轴的另一个交点为.
(1)求抛物线的解析式及点坐标;
(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点,连接MA、MB、BC,当点M运动到某一位置时,四边形AMBC面积最大,求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积;
(3)如图2,若点是半径为2的⊙上一动点,连接、,当点运动到某一位置时,的值最小为_________.(直接写出结果)
【答案】(1),B(5,0);(2)M(3,-4)时,四边形AMBC面积最大,最大面积等于18;(3)
【解析】
(1)由直线y=-5x+5求点A、C坐标,用待定系数法求抛物线解析式,进而求得点B坐标;
(2)从x轴把四边形AMBC分成△ABC与△ABM;由点A、B、C坐标求ABC面积;设点M横坐标为m,过点M作x轴的垂线段MH,则能用m表示MH的长,进而求△ABM的面积,得到△ABM面积与m的二次函数关系式,且对应的a值小于0,配方即求得m为何值时取得最大值,进而求点M坐标和四边形AMBC的面积最大值;
(3)作点D坐标为(4,0),可得BD=1,进而有,再加上公共角∠PBD=∠ABP,根据两边对应成比例且夹角相等可证△PBD∽△ABP,得等于相似比,进而得到PD=AP,所以当C、P、D在同一直线上时,PC+PA=PC+PD=CD最小,用两点间的距离公式即可求出CD的长.
(1)直线y=-5x+5,x=0时,y=5,
∴C(0,5),
当y=-5x+5=0时,解得x=1,
∴A(1,0),
∵抛物线经过A,C两点,
∴ ,解得,
∴抛物线解析式为,
当=0时,解得,,
∴B(5,0);
(2)如图1,过点M作MH⊥x轴于H,
∵ A(1,0),B(5,0),C(0,5),
∴AB=5-1=4,OC=5,
∴,
∵点M为x轴下方抛物线上的点
∴设M(m,m2-6m+5)(1<m<5),
∴MH=|m2-6m+5|=-m2+6m-5,
∴,
∴S四边形AMBC=S△ABC+S△ABM=,
∴当m=3,即M(3,-4)时,四边形AMBC面积最大,最大面积等于18;
(3)如图2,在x轴上取点D(4,0),连接PD、CD,
∴BD=5-4=1,
∵AB=4,BP=2,
∴,
∵∠PBD=∠ABP,
∴△PBD∽△ABP,
∴,
∴PD=AP,
∴PC+PA=PC+PD,
当点C.P、D在同一直线上时,PC+PA=PC+PD=CD最小,
∵,
∴PC+PA的最小值为,
故答案为:.
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【题目】如图,顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式;
(2)在直线AC的上方的抛物线上,有一点P(不与点M重合),使△ACP的面积等于△ACM的面积,请求出点P的坐标;
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【题目】某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间(单位:h),随机调査了该校的部分初中学生.根据调查结果,绘制出如下的统计图1和图2.请根据相关信息,解答下列问题:
(Ⅰ)本次接受调查的初中学生人数为 ,图1中m的值为 ;
(Ⅱ)求统计的这组每天在校体育活动时间数据的众数和中位数;
(Ⅲ)根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据,若该校共有1200名初中学生,估计该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数.
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【题目】为了促进学生多样化发展,某校组织开展了社团活动,分别设置了体育类、艺术类、文学类及其它类社团(要求人人参与社团,每人只能选择一项).为了解学生喜爱哪种社团活动,学校做了一次抽样调查.根据收集到的数据,绘制成如下两幅不完整的统计图,请根据图中提供的信息,完成下列问题:
(1)此次共调查了多少人?
(2)求体育社团在扇形统计图中所占圆心角的度数;
(3)请将条形统计图补充完整;
(4)若该校有3000名学生,请估计喜欢文学类社团的学生有多少人?
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【题目】端午节吃粽子是我国的传统习俗,某食品厂为了解某市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽(以下分别用A,B,C,D表示)这四种不同口味粽子喜爱情况,在节前对某居民区市民进行了抽样调查,并将调查情况绘制成下面的两幅统计图甲、乙(尚不完整),请根据图中信息回答:
(1)本次参加抽样调查的居民有多少人?
(2)若有外形完全相同的A,B,C,D粽各一个,煮熟后,小王吃了两个,用列表或画树状图的方法,求他第二个吃到的恰好是C粽的概率.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中(如图),已知抛物线经过点和,其顶点为C.
(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;
(2)我们把坐标为(n,m)的点叫做坐标为(m,n)的点的反射点,已知点M在这条抛物线上,它的反射点在抛物线的对称轴上,求点M的坐标;
(3)点P是抛物线在第一象限部分上的一点,如果∠POA=∠ACB,求点P的坐标.
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【题目】如图,是的直径,切于点,点是上的一个动点(点不与,两点重合),连接,过点作交于点,过点作于点,交的延长线于点,连接,,.
(1)求证:直线为的切线;
(2)若直径的长为4.
①当________时,四边形为正方形;
②当________时,四边形为菱形.
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【题目】已知点A是双曲线y=-在第二象限分支上的一个动点,连接AO并延长交另一分支于点B,以AB为底作等腰△ABC,点C在第一象限,且∠ACB=120°,点C的位置随着点A的运动在不断变化,但始终在双曲k线y=上,则k的值为_______.
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