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1.已知一组数据x1,x2…,xn的方差为s2
(1)求数据x1+10,x2+10,…,xn+10的方差;
(2)求数据2x1,2x2,…,2xn的方差;
(3)受(1)和(2)的启发,猜想数据3x1+2,3x2+2,…,3xn+2的方差(不必证)

分析 (1)先设数据x1,x2,…,xn的平均数是$\overline{x}$,得出s2=$\frac{1}{n}$[(x1-$\overline{x}$)2+(x2-$\overline{x}$)2+…+(xn-$\overline{x}$)2],再根据数据x1+10,x2+10,…,xn+10的平均数为$\overline{x}$+10,即可求得数据x1+10,x2+10,…,xn+10的方差为$\frac{1}{n}$[(x1+10-$\overline{x}$-10)2+(x2+10-$\overline{x}$-10)2+…+(xn+10-$\overline{x}$-10)2],据此化简计算即可;
(2)根据数据2x1,2x2,…,2xn的平均数是2$\overline{x}$,可得数据2x1,2x2,…,2xn的方差为$\frac{1}{n}$[(2x1-2$\overline{x}$)2+(2x2-2$\overline{x}$)2+…+(2xn-2$\overline{x}$)2],据此化简计算即可;
(3)根据数据3x1+2,3x2+2,…,3xn+2的平均数是3$\overline{x}$+2,可得数据3x1+2,3x2+2,…,3xn+2的方差为$\frac{1}{n}$[(3x1+2-3$\overline{x}$-2)2+(3x2+2-3$\overline{x}$-2)2+…+(3xn+2-3$\overline{x}$-2)2],据此化简计算即可.

解答 解:(1)设数据x1,x2,…,xn的平均数是$\overline{x}$,则
s2=$\frac{1}{n}$[(x1-$\overline{x}$)2+(x2-$\overline{x}$)2+…+(xn-$\overline{x}$)2],
∵数据x1+10,x2+10,…,xn+10的平均数为$\overline{x}$+10,
∴数据x1+10,x2+10,…,xn+10的方差
=$\frac{1}{n}$[(x1+10-$\overline{x}$-10)2+(x2+10-$\overline{x}$-10)2+…+(xn+10-$\overline{x}$-10)2]
=$\frac{1}{n}$[(x1-$\overline{x}$)2+(x2-$\overline{x}$)2+…+(xn-$\overline{x}$)2]
=s2

(2)∵数据2x1,2x2,…,2xn的平均数是2$\overline{x}$,
∴数据2x1,2x2,…,2xn的方差
=$\frac{1}{n}$[(2x1-2$\overline{x}$)2+(2x2-2$\overline{x}$)2+…+(2xn-2$\overline{x}$)2]
=$\frac{1}{n}$[4(x1-$\overline{x}$)2+4(x2-$\overline{x}$)2+…+4(xn-$\overline{x}$)2]
=4×$\frac{1}{n}$[(x1-$\overline{x}$)2+(x2-$\overline{x}$)2+…+(xn-$\overline{x}$)2]
=4s2

(3)由(1)和(2)可得,数据3x1+2,3x2+2,…,3xn+2的方差为9s2
理由:数据3x1+2,3x2+2,…,3xn+2的平均数是3$\overline{x}$+2,
∴数据3x1+2,3x2+2,…,3xn+2的方差
=$\frac{1}{n}$[(3x1+2-3$\overline{x}$-2)2+(3x2+2-3$\overline{x}$-2)2+…+(3xn+2-3$\overline{x}$-2)2]
=$\frac{1}{n}$[(3x1-3$\overline{x}$)2+(3x2-3$\overline{x}$)2+…+(3xn-3$\overline{x}$)2]
=$\frac{1}{n}$[9(x1-$\overline{x}$)2+9(x2-$\overline{x}$)2+…+9(xn-$\overline{x}$)2]
=9×$\frac{1}{n}$[(x1-$\overline{x}$)2+(x2-$\overline{x}$)2+…+(xn-$\overline{x}$)2]
=9s2

点评 本题考查了方差的定义.解题时注意:当数据都加上一个数(或减去一个数)时,平均数也加或减这个数,方差不变;当数据都乘以一个数(或除以一个非零数)时,平均数也乘以或除以这个非零数,方差变为这个数的平方倍.

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