Question

1．已知一组数据x₁，x₂…，x_n的方差为s²
（1）求数据x₁+10，x₂+10，…，x_n+10的方差；
（2）求数据2x₁，2x₂，…，2x_n的方差；
（3）受（1）和（2）的启发，猜想数据3x₁+2，3x₂+2，…，3x_n+2的方差（不必证）

Answer 1

分析 （1）先设数据x₁，x₂，…，x_n的平均数是$\overline{x}$，得出s²=$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]，再根据数据x₁+10，x₂+10，…，x_n+10的平均数为$\overline{x}$+10，即可求得数据x₁+10，x₂+10，…，x_n+10的方差为$\frac{1}{n}$[（x₁+10-$\overline{x}$-10）²+（x₂+10-$\overline{x}$-10）²+…+（x_n+10-$\overline{x}$-10）²]，据此化简计算即可；
（2）根据数据2x₁，2x₂，…，2x_n的平均数是2$\overline{x}$，可得数据2x₁，2x₂，…，2x_n的方差为$\frac{1}{n}$[（2x₁-2$\overline{x}$）²+（2x₂-2$\overline{x}$）²+…+（2x_n-2$\overline{x}$）²]，据此化简计算即可；
（3）根据数据3x₁+2，3x₂+2，…，3x_n+2的平均数是3$\overline{x}$+2，可得数据3x₁+2，3x₂+2，…，3x_n+2的方差为$\frac{1}{n}$[（3x₁+2-3$\overline{x}$-2）²+（3x₂+2-3$\overline{x}$-2）²+…+（3x_n+2-3$\overline{x}$-2）²]，据此化简计算即可．

解答 解：（1）设数据x₁，x₂，…，x_n的平均数是$\overline{x}$，则
s²=$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]，
∵数据x₁+10，x₂+10，…，x_n+10的平均数为$\overline{x}$+10，
∴数据x₁+10，x₂+10，…，x_n+10的方差
=$\frac{1}{n}$[（x₁+10-$\overline{x}$-10）²+（x₂+10-$\overline{x}$-10）²+…+（x_n+10-$\overline{x}$-10）²]
=$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]
=s²；

（2）∵数据2x₁，2x₂，…，2x_n的平均数是2$\overline{x}$，
∴数据2x₁，2x₂，…，2x_n的方差
=$\frac{1}{n}$[（2x₁-2$\overline{x}$）²+（2x₂-2$\overline{x}$）²+…+（2x_n-2$\overline{x}$）²]
=$\frac{1}{n}$[4（x₁-$\overline{x}$）²+4（x₂-$\overline{x}$）²+…+4（x_n-$\overline{x}$）²]
=4×$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]
=4s²；

（3）由（1）和（2）可得，数据3x₁+2，3x₂+2，…，3x_n+2的方差为9s²．
理由：数据3x₁+2，3x₂+2，…，3x_n+2的平均数是3$\overline{x}$+2，
∴数据3x₁+2，3x₂+2，…，3x_n+2的方差
=$\frac{1}{n}$[（3x₁+2-3$\overline{x}$-2）²+（3x₂+2-3$\overline{x}$-2）²+…+（3x_n+2-3$\overline{x}$-2）²]
=$\frac{1}{n}$[（3x₁-3$\overline{x}$）²+（3x₂-3$\overline{x}$）²+…+（3x_n-3$\overline{x}$）²]
=$\frac{1}{n}$[9（x₁-$\overline{x}$）²+9（x₂-$\overline{x}$）²+…+9（x_n-$\overline{x}$）²]
=9×$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]
=9s²．

点评 本题考查了方差的定义．解题时注意：当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变；当数据都乘以一个数（或除以一个非零数）时，平均数也乘以或除以这个非零数，方差变为这个数的平方倍．