【题目】如图,点M是矩形ABCD的边AD的中点,点P是BC边上一动点,PE⊥MC,PF⊥BM,垂足为E、F.
(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时,四边形PEMF为矩形?猜想并证明你的结论.
(2)在(1)中,当点P运动到什么位置时,矩形PEMF变为正方形,为什么?
【答案】(1) 当AD=2AB时,四边形PEMF为矩形,理由见解析;(2) 当P是BC的中点时,矩形PEMF为正方形,理由见解析
【解析】
(1)根据矩形的性质推出∠A=∠D=90°,AB=CD,AM=DM,求出∠ABM=∠AMB=45°,∠DCM=∠DMC=45°,求出∠BMC,即可求出矩形PEMF.
(2)根据AAS证△BFP≌△CEP,推出PE=PF即可.
(1)当AD=2AB时,四边形PEMF为矩形.
证明:∵四边形ABCD为矩形,
∴∠A=∠D=90°,
∵AD=2AB=2CD,AM=DM=AD,
∴AB=AM=DM=CD,
∴∠ABM=∠AMB=45°,∠DCM=∠DMC=45°,
∴∠BMC=180°-45°-45°=90°,
∵PE⊥MC,PF⊥BM,
∴∠MEP=∠FPE=90°,
∴四边形PEMF为矩形,
即当AD=2AB时,四边形PEMF为矩形;
(2)当P是BC的中点时,矩形PEMF为正方形.
理由是:∵四边形PEMF为矩形,
∴∠PFM=∠PFB=∠PEC=90°,
在△BFP和△CEP中
,
∴△BFP≌△CEP(AAS),
∴PE=PF,
∵四边形PEMF是矩形,
∴矩形PEMF是正方形,
即当P是BC的中点时,矩形PEMF为正方形.
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【题目】在平面直角坐标系中(如图),已知函数的图像和反比例函数的在第一象限交于A点,其中点A的横坐标是1.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)把直线平移后与轴相交于点B,且,求平移后直线的解析式.
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【题目】如图1,在矩形ABCD中,动点E从A出发,沿A→B→C方向运动,当点E到达点C时停止运动,过点E作EF⊥AE交CD于点F,设点E运动路程为x,CF=y,如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象,给出下列结论:①a=3;②当CF=时,点E的运动路程为或或,则下列判断正确的是( )
A. ①②都对 B. ①②都错 C. ①对②错 D. ①错②对
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦CD与AB相交,连接CO,过点D作⊙O的切线,与AB的延长线交于点E,若DE∥AC,∠BAC=40°,则∠OCD的度数为( )
A.65°B.30°C.25°D.20°
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【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,且对角线AC⊥BD,垂足为点E,过点C作CF⊥AB于点F,交BD于点G.
(1)如图①,连接EF,若EF平分∠AFG,求证:AE=GE;
(2)如图②,连接CO并延长交AB于点H,若CH为∠ACF的平分线,AD=3,且tan∠FBG=,求线段AH长
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【题目】如图,长方形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=BC=20,AB=8,动点P从点B出发,先以每秒2cm的速度沿B→A的方向运动,到达点A后再以每秒4cm的速度沿A→D的方向向终点D运动;动点Q从点B出发以每秒2cm的速度沿B→C的方向向终点C运动.其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,设点P、Q同时出发,运动时间为t秒.
(1)直接写出BQ的长(用含t的代数式表示)
(2)求△BPQ的面积S(用含t的代数式表示)
(3)求当四边形APCQ为平行四边形t的值
(4)若点E为BC中点,直接写出当△BEP为等腰三角形时t的值.
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【题目】如果关于的一元二次方程有两个实数根,且其中一根为另一根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”,以下关于倍根方程的说法,不正确的是( )
A.方程是倍根方程;
B.若是倍根方程,则;
C.若方程是倍根方程,且相异两点都在抛物线上,则方程的一个根为;
D.若点在反比例函数的图象上,则关于的方程是倍根方程.
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【题目】为了解“停课不停学”过程中学生对网课内容的喜爱程度,某校开展了一次网上问卷调查.随机抽取部分学生,按四个类别统计,其中A表示“很喜欢”,B表示“喜欢”,C表示“一般”,D表示“不喜欢”,并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图.
请根据图中提供的信息,解决下列问题:
(1)这次共抽取 名学生进行统计调查,扇形统计图中D类所在扇形的圆心角度数为 ;
(2) 将条形统计图补充完整;
(3) 若该校共有3000名学生,估计该校表示“喜欢”的B类学生大约有多少人?
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