Question

6．如图，四边形ABCD是以原点O为对称中心的矩形，A（1，3），D（3，1），AB和CD分别与y轴交于点E、F，连接OB．
（1）写出点B和点C的坐标；
（2）求四边形OBCF的面积；
（3）判断点（1，-0.8）在矩形ABCD的内部还是外部；
（4）要使直线y=$\frac{1}{2}$x+m与矩形ABCD没有公共点，直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由O为对称中心可知，A和C、B和D关于原点对称，可求得B、C的坐标；
（2）由C、D坐标可求得直线CD的解析式，可求得F点坐标，再利用勾股定理可求得BC、CD、CF的长，过O作OM⊥CD、ON⊥BC，垂足分别为M、N，则可求得△BOC和COF的面积，可求得四边形OBCF的面积；
（3）把x=1代入（2）中直线CD的解析式可求得对应的y值，与-0.8进行比较即可；
（4）当直线过A点和C点时直线与矩形有一个公共点，可求得没有公共点时m的取值范围．

解答 解：
（1）∵四边形ABCD是以原点O为对称中心的矩形，
∴A和C、B和D关于原点对称，
∴B（-3，-1），C（-1，-3）；

（2）设直线CD的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=1}\\{-k+b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直线CD解析式为y=x-2，
∴F（0，-2），
∵B（-3，-1），C（-1，-3），D（3，1），
∴BC=$\sqrt{（-3+1）^{2}+（-1+3）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，CF=$\sqrt{（-1-0）^{2}+（-3+2）^{2}}$=$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{（-1-3）^{2}+（-3-1）^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
过O作OM⊥CD、ON⊥BC，垂足分别为M、N，如图，

∵四边形ABCD为矩形，
∴OM=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{2}$，ON=$\frac{1}{2}$CD=2$\sqrt{2}$，
∴S_{四边形OBCF}=S_△OBC+S_△OCF=$\frac{1}{2}$BC•ON+$\frac{1}{2}$CF•OM=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=5；

（3）在y=x-2中，当x=1时可得y=-1，
∵-0.8＞-1，
∴点（1，-0.8）在点（1，-1）的上方，
即点（1，-0.8）在矩形的内部；
（4）当直线y=$\frac{1}{2}$x+m过A、C点时，直线与矩形只有一个公共点，
把A（1，3）代入可得3=$\frac{1}{2}$+m，解得m=$\frac{5}{2}$，
把C（-1，-3）代入可得-3=-$\frac{1}{2}$+m，解得m=-$\frac{5}{2}$，
∴当直线y=$\frac{1}{2}$x+m与矩形ABCD没有公共点，m的取值范围为m＜-$\frac{5}{2}$或m＞$\frac{5}{2}$．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、勾股定理、三角形的面积等知识．在（1）中利用矩形的对称性容易求得B、C的坐标，在（2）中把四边形转化成两个三角形是解题的关键，在（3）中判断出点在CD的上方还是下方是解题的关键，在（4）中求得直线与矩形有一个公共点时m的值是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．