Question

如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=3

3

，点P是边BC上的动点（点P不与点B，点C重合），过点P作直线PQ∥BD，交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y．
（1）求∠CPQ的度数；
（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上？
（3）求y与x之间的函数关系式；
（4）①当x取何值时，重叠部分的面积最大，并求出这个最大值；②当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的

7

27

？

Answer 1

分析：（1）根据矩形的性质推出AB=CD，AD=BC，根据解直角三角形求出∠CDB=30°，根据平行线的性质和数据线的内角和定理求出即可；
（2）根据轴对称的性质可知△RPQ≌△CPQ，推出∠RPQ=∠CPQ，RP=CP，在△RPB中得出2（3

3

-x）=x，求出即可；
（3）当点R在矩形ABCD的内部或AB边上时，求出S_△CPQ的值，推出当0＜x≤2

3

时，y=

3

2

x²，当R在矩形ABCD的外部，求出PF=2BP=2（3

3

-x），求出RF\ER=

3

x-6，进一步求出S_△ERF即可；
（4）①当0＜x≤2

3

时，求出y的最大值，当2

3

＜x＜3

3

时，求出在x=

18

2 3

时，y最大值=9

3

，②矩形面积=9×3

3

=27

3

，根据计算求出当0＜x＜2

3

时，y的值不可能是矩形面积的

7

27

；当2

3

＜x＜3

3

时，根据题意得出方程-

3

x²+18x-18

3

=7

3

，求出方程的解即可．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵AB=9，AD=3

3

，∠C=90°，
∴CD=9，BC=3

3

，
∴tan∠CDB=

BC

CD

=

3

3

，∴∠CDB=30°，
∵PQ∥BD，
∴∠CQP=∠CDB=30°，
∴∠CPQ=90°-∠CQP=60°，
答：∠CPQ的度数是60°．

（2）解：如图1，由轴对称的性质可知，△RPQ≌△CPQ，
∴∠RPQ=∠CPQ，RP=CP，
由（1）知：∠CQP=30°，∴∠RPQ=∠CPQ=60°，
∴∠RPB=60°，
∴RP=2BP，
∵CP=x，
∴PR=x，PB=3

3

-x，
在△RPB中，根据题意得：2（3

3

-x）=x，
解这个方程得：x=2

3

，
答：当x取2

3

时，点R落在矩形ABCD的AB边上．

（3）解：当点R在矩形ABCD的内部或AB边上时，
如图1：FE的范围是0＜x≤2

3

，
S_△CPQ=

1

2

×CP×CQ=

1

2

x×

3

x=

3

2

x²，
∵△RPQ≌△CPQ，
∴当0＜x≤2

3

时，y=

3

2

x²，
当R在矩形ABCD的外部时（如图2），2

3

＜x＜3

3

，
在Rt△PFB中，∵∠RPB=60°，
∴PF=2BP=2（3

3

-x），
∵RP=CP=x，
∴RF=RP-PF=3x-6

3

，
在Rt△ERF中，
∵∠EFR=∠PFB=30°，
∴ER=

3

x-6，
∴S_△ERF=

1

2

×ER×FR=

3 3

2

x²-18x+18

3

，
∵y=S_△RPQ-S_△ERF，
∴当2

3

＜x＜3

3

时，y=-

3

x²+18x-18

3

，
答：y与x之间的函数解析式是：y=

3 2 x2(0＜x≤ 2 3 )  - 3  x2+18x-18 3 (2 3 ＜ x＜3 3 )

．

（4）解：①当0＜x≤2

3

时，函数y=

3

2

x²随自变量的增大而增大，
∴y的最大值是6

3

，
当2

3

＜x＜3

3

时，y=-

3

x²+18x-18

3

=7

3

，
∵-

3

＜0，
∴在x=

18

2 3

=3

3

时，y的最大值=

4 3 ×18 3 -182

-4 3

=9

3

，
∴当2

3

＜x＜3

3

时，y没有最大值．
②矩形面积=9×3

3

=27

3

，
当0＜x≤2

3

时，y的最大值是6

3

，
而矩形面积的

7

27

的值=

7

27

×27

3

=7

3

，
而7

3

＞6

3

，
∴当0＜x＜2

3

时，y的值不可能是矩形面积的

7

27

；
当2

3

＜x＜3

3

时，根据题意，得：-

3

x²+18x-18

3

=7

3

，
解这个方程，得x=3

3

±

2

，
∵3

3

+

2

＞3

3

，
∴x=3

3

+

2

不合题意，舍去，
∴x=3

3

-

2

，
答：当x=3

3

-

2

时，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积等于矩形面积的

7

27

．

点评：本题主要考查对矩形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的内角和定理，解一元二次方程，翻折变换，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．