Question

9．如图，BD是⊙O的切线，B为切点，连接DO与⊙O交于点C，AB为⊙O的直径，连接CA，若∠D=30°，⊙O的半径为4，则图中阴影部分的面积为$\frac{16}{3}π-4\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由条件可求得∠COA的度数，过O作OE⊥CA于点E，则可求得OE的长和CA的长，再利用S_阴影=S_扇形COA-S_△COA可求得答案．

解答 解：如图，过O作OE⊥CA于点E，
∵DB为⊙O的切线，
∴∠DBA=90°，
∵∠D=30°，
∴∠BOC=60°，
∴∠COA=120°，
∵OC=OA=4，
∴∠OAE=30°，
∴OE=2，CA=2AE=4$\sqrt{3}$
∴S_阴影=S_扇形COA-S_△COA=$\frac{120{π×4}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2×4$\sqrt{3}$=$\frac{16}{3}$π-4$\sqrt{3}$，
故答案为：$\frac{16}{3}$π-4$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查切线的性质和扇形面积的计算，求得扇形COA和△COA的面积是解题的关键．