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如图①,直线AB的解析式为y=kx-2k(k<0)与x轴、y轴分别交于A、B两点,∠ABO=60°.经过A、O两点的⊙O1与x轴的负半轴交于点C,与直线AB切于点A.
(1)求C点的坐标;
(2)如图②,过O1作直线EF∥y轴,在直线EF上是否存在一点D,使得△DAB的周长最短,若存在,求出D点坐标,不存在,说明理由;
(3)在(2)的条件下,连接OO1与⊙O1交于点G,点P为劣弧数学公式上一个动点,连接GP与EF的延长线交于H点,连接EP与OG交于I点,当P在劣弧数学公式运动时(不与G、F两点重合),O1H-O1I的值是否发生变化,若不变,求其值,若发生变化,求出其值的变化范围.

解:(1)连接AC
∵y=kx-2k∴B(2,0)
∵∠ABO=60°∴∠OAB=30°
∴AB=4,OA=
∵AB是切线∴∠CAB=90°,∠ACB=30°
∴AC=,CO=6
∴C(-6,0).

(2)存在D点,坐标为
∵EF过圆心且垂直x轴,
∴EF平分CO
取B点关于EF的对称点M,则M点的坐标为(-8,0)
设直线AM的解析式为y=kx+b
∵A,M(-8,0)∴
直线AM与直线EF的交点即为D点,此时△DAB的周长最短


(3)O1H-O1I的值不发生变化,O1H-O1I=
连接GF,
∵∠GOC=30°
∴∠OO1E=∠GO1F=60°
∴△GO1F为等边三角形
∴GF=O1E
∵∠HGF=∠HEP,∠HFG=∠EO1I=120°
∴△HGF≌△IEO1
∴HF=IO1
∴O1H-O1I=O1F=
分析:(1)连接AC∵y=kx-2k∴B(2,0)∵∠ABO=60°∴∠OAB=30°∴AB=4,OA=,求出∠CAB=90°则可得出C点的坐标;
(2)取B点关于EF的对称点M,则M点的坐标为(-8,0),设直线AM的解析式为y=kx+b,求出解析式后再求直线AM与直线EF的交点即可;
(3)连接GF,证明△HGF≌△IEO1,即可得出O1H-O1I的值不发生变化.
点评:本题考查了一次函数的综合知识,难度较大,关键是巧妙作出辅助线进行解题.
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相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

22、完成下列证明:
(1)如图,已知AD⊥BC,EF⊥BC,∠1=∠2.求证:DG∥BA.
证明:∵AD⊥BC,EF⊥BC(已知)
∴∠EFB=∠ADB=90°
垂直定义

∴EF∥AD
同位角相等,两直线平行

∴∠1=∠BAD
两直线平行,同位角相等

又∵∠1=∠2(已知)
∠2=∠BAD
(等量代换)
∴DG∥BA
内错角相等,两直线平行


(2)如图,已知AB=AD,AC=AE,∠1=∠2,请说明BC=DE的理由.
解:∵∠1=∠2
∴∠1+
∠EAC
=∠2+
∠EAC
等式性质

即∠BAC=∠DAE
在△ABC和△ADE中
AB=
AD
(已知)
∠BAC=∠DAE(已证)
AC
=AE(已知)
∴△ABC≌△ADE(
SAS

∴BC=DE(
全等三角形的对应边相等

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科目:初中数学 来源: 题型:

如下面第一幅图,点A的坐标为(-1,1)
(1)那么点B,点C的坐标分别为
 

(2)若一个关于x,y的二元一次方程,有两个解是
x=点A的横坐标
y=点A的纵坐标
x=点B的横坐标
y=点B的纵坐标
请写出这个二元一次方程,并检验说明点C的坐标值是否是它的解.
(3)任取(2)中方程的又一个解(不与前面的解雷同),将该解中x的值作为点D的横坐标,y的值作为点D的纵坐标,在下面第一幅图中描出点D;
(4)在下面第一幅图中作直线AB与直线AC,则直线AB与直线AC的位置关系
 
,点D与直线AB的位置关系是
 

(5)若把直线AB叫做(2)中方程的图象,类似地请在备用图上画出二元一次方程组
x+y=4
x-y=-2
中两个二元一次方程的图象,并用一句话来概括你对二元一次方程组的解与它图象之间的发现.
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科目:初中数学 来源: 题型:

23、如图,已知AB∥DE,∠BAE=∠EDC,AD⊥AE,垂足为A,请在下划线内补全求∠ADC的度数的解题过程或依据.
解:∵AB∥DE (已知),
∴∠BAE=
∠AED
两直线平行,内错角相等
).
∵∠BAE=∠EDC(已知),
∠AED=∠EDC
(等量代换).
AE∥CD
 (
内错角相等,两直线平行
 ).
∠AEC=∠ECD
(两直线平行,同旁内角互补).
又∵AD⊥AE (已知),
∴∠EA D=
90°
(垂直的概念).
∴∠ADC=
90°
  (
两直线平行,同旁内角互补
).

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知AB∥CD∥EF,且∠A=50°,∠F=120°,DG平分∠ADF,求∠CDG的度数.
解:∵AB∥CD
∴∠A=∠ADC
两直线平行,内错角相等
两直线平行,内错角相等

又∵∠A=50°
∴∠
ADC
ADC
=50°
∵CD∥EF
∴∠F+∠
CDF
CDF
=180°(两直线平行,同旁内角互补 )
又∵∠F=120°
∴∠CDF=
60°
60°

∴∠ADF=
110°
110°

∵DG平分∠ADF
∴∠ADG=
12
ADF
ADF
=
55
55
°
角平分线的定义
角平分线的定义

∴∠CDG=∠ADG-∠
ADC
ADC
=
5
5
°.

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说理填空:如图,已知AB∥CD,GH平分∠AGM,MN平分∠CMG,请说明GH⊥MN的理由.
解:因为AB∥CD(已知),
所以∠AGF+
∠CHE
∠CHE
=180°(
两直线平行,同旁内角互补
两直线平行,同旁内角互补
 ),
因为GH平分∠AGF,MN平分∠CMG(
已知
已知
 ),
所以∠1=
1
2
∠AGF,∠2=
1
2
∠CMG(
角平分线的定义
角平分线的定义
),
得∠1+∠2=
1
2
(∠AGF+∠CMG)=
90°
90°

所以GH⊥MN(
垂直的定义
垂直的定义
).
根据已知条件和所得结论请总结出一个规律:
两直线平行,同旁内角的角平分线互相垂直
两直线平行,同旁内角的角平分线互相垂直

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