Question

3．如图，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，AC=BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限．
（1）若AC所在直线的函数表达式是y=2x+4．
①求AC的长；
②求点B的坐标；
（2）若（1）中AC的长保持不变，点A在y轴的正半轴滑动，点C随之在x轴的负半轴上滑动．在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是5+$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （1）①根据自变量与函数值得对应关系，可得A，C点坐标，根据勾股定理，可得答案；
②根据全等三角形的判定与性质，可得CD，BD的长，可得B点坐标；
（2）首先取AC的中点E，连接BE，OE，OB，可求得OE与BE的长，然后由三角形三边关系，求得点B到原点的最大距离．

解答 解：（1）①当x=0时，y=2x+4=4，
∴A（0，4）；
当y=2x+4=0时，x=-2，
∴C（-2，0）．
∴OA=4，OC=2，
∴AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
②过点B作BD⊥x轴于点D，如图1所示．
∵∠ACO+∠ACB+∠BCD=180°，∠ACO+∠CAO=90°，∠ACB=90°，
∴∠CAO=∠BCD．
在△AOC和△CDB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOC=∠CDB=90°}\\{∠CAO=∠BCD}\\{AC=CB}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△CDB（AAS），
∴CD=AO=4，DB=OC=2，
OD=OC+CD=6，
∴点B的坐标为（-6，2）．
（2）如图2所示．
取AC的中点E，连接BE，OE，OB，
∵∠AOC=90°，AC=2$\sqrt{5}$，
∴OE=CE=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{5}$，
∵BC⊥AC，BC=2$\sqrt{5}$，
∴BE=$\sqrt{B{C}^{2}+C{E}^{2}}$=5，
若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+BE=5+$\sqrt{5}$．
若点O，E，B在一条直线上，则OB=OE+BE=5+$\sqrt{5}$，
∴当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为5+$\sqrt{5}$，
故答案为：5+$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了二次函数综合题，利用自变量与函数值的对应关系是解①的关键，又利用了勾股定理；解②的关键是利用全等三角形的判定与性质得出CD，BD的长；解（2）的关键是直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形三边关系．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．