Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE切⊙O于点D，交BC于点E．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）如果CD=4，CE=3，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】分析：本题由已知DE是⊙O的切线，可联想到常作的一条辅助线，即“见切点，连半径，得垂直”，然后再把要证的垂直与已有的垂直进行联系，即可得出证法．
解答：（1）证明：连接OD，（1分）
∵DE切⊙O于点D，
∴DE⊥OD，
∴∠ODE=90°，（2分）
又∵AD=DC，AO=OB，
∴OD∥BC，（3分）
∴∠DEC=∠ODE=90°，
∴DE⊥BC；（4分）

（2）解：连接BD，（5分）
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，（6分）
∴BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
又∵DE⊥BC，
Rt△CDB∽Rt△CED，（7分）
∴，
∴BC=，（9分）
又∵OD=BC，
∴OD=，
即⊙O的半径为．（10分）
点评：命题立意：此题主要考查圆的切线的性质、垂直的判定、圆周角的性质、三角形相似等知识．