Question

【题目】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径AB垂直于弦CG，垂足为点H，过点C作ED⊥CG，交⊙O于点E，且∠CBD=∠A，连接BE，交CG于点F．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）求证：BC2=BF·BE；

（3）若CG=8，AB=10，求sin E的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）sin E=．

【解析】

（1）利用直径所对的圆周角是直角，易证得∠ABD=90°，从而证得结论；

（2）利用垂径定理结合圆周角定理证得∠BCG=∠E，得到△CBF∽△EBC，利用对应边成比例，即可证明结论；

（3）连接OC，利用垂径定理求得CH =4，在Rt△OCH中，由勾股定理求得OH的长，在Rt△BCH中，由勾股定理求得BC的长，由于∠E=∠BCG，利用正弦函数即可求解．

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠A＋∠CBA=90°．

∵∠CBD=∠A，

∴∠CBA＋∠CBD=90°，即∠ABD=90°，

∴AB⊥BD，

∵OB是⊙O的半径，

∴BD是⊙O的切线；

（2）证明：∵AB⊥CG，

∴=，

∴∠BCG=∠E，

又∠CBF=∠EBC，

∴△CBF∽△EBC，

∴，

∴BC2=BF·BE；

（3）连接OC．

∵AB=10，CG=8，AB⊥CG，

∴CH=CG=4，OB=OC=AB=5，

在Rt△OCH中，由勾股定理，得OH=，

∴BH=OB-OH=2，

在Rt△BCH中，由勾股定理，得BC=，

由(2)得∠E=∠BCG，

∴sin E=sin∠BCG=．