Question

17．如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=$\sqrt{3}$，BO=1，AB的垂直平分线交AB于点E，交射线BO于点F．点P从点A出发沿射线AO以每秒2$\sqrt{3}$个单位的速度运动，同时点Q从点O出发沿OB方向以每秒1个单位的速度运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）当t=$\frac{3}{5}$时，PQ∥EF；
（2）若P、Q关于点O的对称点分别为P′、Q′，线段PQ与P′Q′的中点分别为M、M′，连结MM′，当线段MM′与线段EF有公共点时，t的取值范围是0≤t≤$\frac{1}{7}$或$\frac{5}{7}$≤t≤1．

Answer 1

分析 （1）利用平行线的性质结合相似三角形的判定与性质得出△AEN∽△QOP，进而利用锐角三角函数关系求出即可；
（2）先求得直线AB的解析式y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，由EF是AB的垂直平分线可得直线EF解析式为y=$\sqrt{3}$x-1，由P（$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$t，0）、Q（0，t）知PQ的中点M（$\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{3}t}{2}$，$\frac{t}{2}$），进而得出直线MM′解析式为y=$\frac{\sqrt{3}t}{3（1-2t）}$x，联立立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x-1}\\{y=\frac{\sqrt{3}t}{3（1-2t）}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}（1-2t）}{3-7t}}\\{y=\frac{t}{3-7t}}\end{array}\right.$，根据线段MM′与线段EF有公共点知0≤$\frac{\sqrt{3}（1-2t）}{3-7t}$≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且$\frac{\sqrt{3}（2t-1）}{2}$≤$\frac{\sqrt{3}（1-2t）}{3-7t}$≤$\frac{\sqrt{3}（1-2t）}{2}$，分类讨论解不等式组得出答案．

解答 解：（1）如图1，

当PQ∥EF时，
则∠QPO=∠ENA，
又∵∠AEN=∠QOP=90°，
∴△AEN∽△QOP，
∵∠AOB=90°，AO=$\sqrt{3}$，BO=1，
∴tanA=$\frac{BO}{AO}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠A=∠PQO=30°，
∴$\frac{PO}{QO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}t-\sqrt{3}}{t}$，
解得：t=$\frac{3}{5}$，
故当t=$\frac{3}{5}$时，PQ∥EF；
故答案为：$\frac{3}{5}$；   

（2）根据题意知点A（$\sqrt{3}$，0）、B（0，1），
设直线AB解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}k+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
即直线AB解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，
∵EF是AB的垂直平分线，
∴点E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），且k_EF=$\sqrt{3}$，
则直线EF解析式为y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$x-1；
∵AP=2$\sqrt{3}$t，OQ=t，
∴OP=$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$t，
则P（$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$t，0）、Q（0，t），
∴PQ的中点M（$\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{3}t}{2}$，$\frac{t}{2}$），
∵P、Q关于点O的对称点分别为P′、Q′，
∴线段PQ与P′Q′的中点M、M′关于原点O对称，
∴直线MM′过原点，
设直线MM′的解析式为y=mx，
将点M代入得$\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{3}t}{2}$m=$\frac{t}{2}$，
解得：m=$\frac{\sqrt{3}t}{3（1-2t）}$，
∴直线MM′解析式为y=$\frac{\sqrt{3}t}{3（1-2t）}$x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x-1}\\{y=\frac{\sqrt{3}t}{3（1-2t）}x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}（1-2t）}{3-7t}}\\{y=\frac{t}{3-7t}}\end{array}\right.$，
∵线段MM′与线段EF有公共点，
∴0≤$\frac{\sqrt{3}（1-2t）}{3-7t}$≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且$\frac{\sqrt{3}（2t-1）}{2}$≤$\frac{\sqrt{3}（1-2t）}{3-7t}$≤$\frac{\sqrt{3}（1-2t）}{2}$，
①当$\left\{\begin{array}{l}{3-7t＞0}\\{1-2t≥0}\end{array}\right.$，即t＜$\frac{3}{7}$时，解以上不等式组得t≤$\frac{1}{7}$，故此时t≤$\frac{1}{7}$；
②当$\left\{\begin{array}{l}{3-7t＞0}\\{1-2t≤0}\end{array}\right.$，不等式组无解；
③$\left\{\begin{array}{l}{3-7t＜0}\\{1-2t≥0}\end{array}\right.$，即$\frac{3}{7}$＜t≤$\frac{1}{2}$时，解以上不等式组得t≥$\frac{5}{7}$，不符合此种情况的前提；
④$\left\{\begin{array}{l}{3-7t＜0}\\{1-2t≤0}\end{array}\right.$，即t≥$\frac{1}{2}$时，解以上不等式组得t≥$\frac{5}{7}$，故此时t≥$\frac{5}{7}$；
∵0≤t≤1，
∴0≤t＜$\frac{3}{7}$或$\frac{1}{2}$≤t≤1．
故答案为：0≤t≤$\frac{1}{7}$或$\frac{5}{7}$≤t≤1．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质直线相交等知识，根据两线段相交得出关于t的不等式组是解题关键．