Question

已知等腰梯形ABOC在直角坐标系中如图所示，AB∥OC，OB=2，OA=2

3

．
（1）求点C的坐标；
（2）求经过点B，O，C的抛物线解析式；
（3）若点P为（2）中所求抛物线上一动点，点Q为y轴上一动点，请探索是否存在点P和点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有对应的P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）本题需先分别求出过点A的圆的方程和直线OC的方程，再由两个方程求出点C的坐标即可．
（2）本题需把B，O，C的坐标分别代入抛物线的解析式，即可求出结果．
（3）本题需先求出构成平很四边形的直线PQ的解析式，再根据解析式用b表示出点P和点Q的坐标，再求出b的值从而得出点P、Q的坐标．

解答：解：（1）∵ABOC等腰梯形，
∴|AC|=|BO|=2，
k_AB=

2 3 -0

0-(-2)

=

3

，
于是设过A点的圆为：x²+(y-2

3

)2=2²，①
直线OC的方程为y=

3

x，②
由①②解得x=1，x=2（舍去，不能构成等腰梯形），
∴y=

3

，C点的坐标为（1，

3

）；

（2）将0（0，0）B（-2，0）C（1，

3

）代入y=ax²+bx+c得方程组：

0=a02+b0+c 0=a(-2)2-2b+c 3 =a•12+b+c

，
解得：a=

3

3

，b=

2 3

3

，c=0，
∴y=

3

3

x²+

2 3

3

x；

（3）∵B（-2，0）C（1，

3

），
∴k_BC=

3

1+2

=

3

3

，
|BC|=

3 2+(1+2)2

=2

3

，
于是构成平行四边形的直线PQ为y=

3

3

x+b，①
y=

3

3

x2+

2 3

3

x，②
由①②得：
x_1，2=

-1± 1+4 3 b

2

；
y_1，2=

- 3 +6b± 3 1+4 3b

6

为P点的坐标，Q点的坐标为（0，b），
|PQ|²=|BC|²=（

-1± 1+4 3 b

2

-0）+（=

- 3 +6b± 3 1+4 3b

6

-b）²=12，
解得b=2

3

和b=4

3

，
当b=2

3

时，x，=-3，y=

3

或x=2，y=

8 3

3

，
当b=4

3

时，x=-4，y=

8 3

3

或x=3，y=5

3

，
经检验P₁（-3，

3

），P₂（3，5

3

）符合题意要求，
对P₁，将x=0代入y=

3

3

x+2

3

，
对P₂，将x=0代入y=y=

3

3

x+4

3

，
于是和Q₁（0，

3

），Q₂（0，4

3

）可以构成两个平行四边形．

点评：本题主要考查了二次函数的综合应用，在解题时要注意二次函数的解析式的求法以及等腰梯形和平行四边形的性质相结合．