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7.已知,在平行四边形OABC中,OA=5,AB=4,∠OCA=90°.动点P从O点出发沿射线OA方向以每秒2个单位的速度移动,同时动点Q从A点出发沿射线AB方向以每秒1个单位的速度移动.设移动的时间为t秒.
(1)求经过O,A,C三点的抛物线的解析式;
(2)在(1)中抛物线的对称轴上找一点M使△MAC的周长最小,求出点M的坐标;
(3)试求出当t为何值时,△OAC与△PAQ相似;
(4)是否存在某一时刻,使△PAQ为等腰三角形?若能,请直接写出t的所有可能的值;若不能,请说明理由.

分析 (1)过C点作x轴的垂线,垂足为D点,由已知条件利用勾股定理求AC,利用面积法求CD,利用勾股定理求OD,确定C点坐标,再利用待定系数法求出抛物线解析式即可;
(2)如图抛物线对称轴与直线OC的交点就是点M,此时△MAC周长最小,求出直线OC解析式,即可解决问题.
(3)根据P点是否在线段OA上分类:当0≤t≤2.5时,和当t>2.5时,判断相似是否成立,利用相似比求符合条件的t的值;
(4)当P点在线段OA上,在A点的左侧时AP=AQ,求出t即可,当P在A点的右侧AP=AQ时.求出t即可.点P在A右侧:QA=QP时,求出t即可,点P在A右侧:PA=PQ时,求出t即可.

解答 解:(1)过C点作x轴的垂线,垂足为D点,在平行四边形OABC中,由OA=5,AB=4,∠OCA=90°,得AC=3,
由面积法,得CD×OA=OC×AC,
解得CD=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$,
在Rt△OCD中,由勾股定理得OD=$\sqrt{O{C}^{2}-O{D}^{2}}$=$\frac{16}{5}$,
∴C( $\frac{16}{5}$,$\frac{12}{5}$),
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
则$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{25a+5b=0}\\{\frac{256}{25}a+\frac{16}{5}b=\frac{12}{5}}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{5}{12}}\\{b=\frac{25}{12}}\end{array}\right.$,
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{5}{12}$x2+$\frac{25}{12}$x.

(2)如图抛物线对称轴与直线OC的交点就是点M,此时△MAC周长最小.
∵直线OC解析式为y=$\frac{3}{4}$x,
抛物线y=-$\frac{5}{12}$x2+$\frac{25}{12}$x,的对称轴为x=$\frac{5}{2}$,
∴点M坐标为($\frac{5}{2}$,$\frac{15}{8}$).
(3)当0≤t≤2.5时,P在OA上,∠OAQ≠90°,
故此时△OAC与△PAQ不可能相似.
当t>2.5时,
①若∠APQ=90°,则△AQP∽△OAC,
故 $\frac{AP}{AQ}$=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{4}{5}$,
∴$\frac{2t-5}{t}$=$\frac{4}{5}$,
∴t=$\frac{25}{6}$,
∵t>2.5,
∴t=$\frac{25}{6}$ 符合条件.
②若∠AQP=90°,则△APQ∽△OAC,
故 $\frac{AQ}{AP}$=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{4}{5}$,
∴$\frac{t}{2t-5}$=$\frac{4}{5}$,
∴t=$\frac{20}{3}$,
∵t>2.5,
∴t=$\frac{20}{3}$ 符合条件.
综上可知,当t=$\frac{25}{6}$ 或$\frac{20}{3}$时,△OAC与△APQ相似.

(4)有四种情况:
①点P在A左侧:AP=AQ时,t=5-2t,解得t=$\frac{5}{3}$,
②点P在A右侧:AP=AQ时,2t-5=t,解得t=5,
③点P在A右侧:QA=QP时,$\frac{1}{2}$(2t-5)=$\frac{4}{5}$t,解得t=$\frac{25}{2}$,
④点P在A右侧:PA=PQ时,$\frac{4}{5}$(2t-5)=$\frac{1}{2}$t,解得t=$\frac{40}{11}$.

点评 本题考查了一次函数的综合运用.关键是利用勾股定理,面积法,相似三角形的性质解题,学会分类讨论,学会把问题转化为方程的思想解决问题,属于中考压轴题.

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