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已知,如图,抛物线经过原点O和点B(m,-3),它的对称轴x=-2与x轴交于点精英家教网A,直线y=-2x+1与抛物线交于点B,且与y轴、直线x=-2分别交于点D、C.
(1)求m的值及抛物线的解析式;
(2)求证:①AC=AB,②BD=CD;
(3)除B点外,直线y=-2x+1与抛物线有无公共点?并说明理由;
(4)在抛物线上是否存在一点P,使得PB=PC?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)根据抛物线的对称轴为x=-2,且过O、A两点,因此A点的坐标为(-2,0).可用交点式二次函数通式来设抛物线的解析式,然后根据直线y=-2x+1求出B点的坐标,将B点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式.
(2)①可根据抛物线的解析式求出B,C点的坐标,进而可求出△ACB三边的长,可据此证明AC=AB,
②可过C、B作y轴的垂线通过证三角形全等来得出D是BC中点即可;
(3)由题意可知:P点必为线段BC垂直平分线与抛物线的交点,可先求出线段BC的垂直平分线,然后联立抛物线的解析式,即可求出符合条件的P点的坐标.
解答:解:(1)∵点B(m,-3)在直线y=-2x+1上,
∴-3=-2×m+1,
∴m=2,
∴B(2,-3)
∵抛物线经过原点O和点M,对称轴为x=-2,
∴点M坐标为(-4,0)
设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x+4),将点B(2,-3)代入上式,
得-3=a(2-0)(2+4),
∴a=-
1
4
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∴所求的抛物线对应的函数关系式为y=-
1
4
x(x+4),
即y=-
1
4
x2-x;

(2)①证明:∵直线y=-2x+1与y轴、直线x=-2的交点坐标分别为D(0,1),C(-2,5),
过点B作BG∥x轴,与y轴交于F、直线x=-2交于G,
∴BG⊥直线x=-2,BG=4、
在Rt△BGC中,AB=
AG2+BG2
=5,
∵AC=5,
∴AB=AC=5,
②证明:
过点C作CH∥x轴,交y轴于H,则点H的坐标为H(0,5),又点F、D的坐标为F(0,-3)、D(0,1),
∴FD=DH=4,BF=CH=2,∠BFD=∠CHD=90°
∴△DFB≌△CHD(SAS),
∴BD=CD;

(4)存在.
∵PB=PC,
∴点P在直线AD上,
∴符合条件的点P是直线AD与该抛物线的交点
设直线AD对应的函数关系式为y=kx+b,将D(0,1)A(-2,0)代入,
b=1
-2k+b=0

解得
k=
1
2
b=1

∴直线AD对应的函数关系式为y=
1
2
x+1,
∵动点P的坐标为(x,-
1
4
x2-x),
1
2
x+1=-
1
4
x2-x
解得x1=-3+
5
,x2=-3-
5

∴y1=
-1+
5
2
,y2=
-1-
5
2

∴符合条件的点P的坐标为(-3+
5
-1+
5
2
-)或(-3-
5
-1-
5
2
).
点评:本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形全等、等腰三角形的判定和性质等重要知识点,综合性强,考查学生数形结合的数学思想方法.
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