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1.如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,QR∥BA,动点P,Q同时从A,B两点出发,分别沿AB,BC匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时,P,Q两点都停止运动,设运动时间为t(s),当t为何值时,△APR∽△PRQ?

分析 过Q作QE⊥AB,由QR与AB平行,且三角形ABC为等边三角形,利用平行线的性质得到三角形QRC为等边三角形,得到QR=RC=QC=6-2t,也可根据题目中的数量关系求得PE的长,从而可以推得t为何值时,△APR∽△PRQ.

解答 解:过Q作作QE⊥AB于点E,
∵QR∥BA,△ABC为等边三角形,
∴∠QRC=∠A=60°,∠RQC=∠B=60°,
∵∠C=60°,
∴△QRC为等边三角形,
∴QR=RC=QC=6-2t,
∵BE=$\frac{1}{2}$×2t=t,
∴EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,
∴EP∥QR,EP=QR,
∴PR=EQ=$\sqrt{3}$t,
∴△APR∽△PRQ,
∴∠QPR=∠A=60°,
∴tan∠QPR=$\frac{6-2t}{\sqrt{3}t}$=$\sqrt{3}$,
解得:t=$\frac{6}{5}$,
则当t=$\frac{6}{5}$时,△APR∽△PRQ.

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质,以及等边三角形的性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键.

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